Биномна теорема

Биномните коефициенти се појавуваат како елементи на Паскаловиот триаголник.

Биномна теорема – теорема на елементарната алгебра која ги опишува коефициентите на степенот на биномот кога истиот е претставен во развиена форма. Според оваа теорема, изразот (x + y)ⁿ можно е да се претстави како сума собироци со облик ax^by^c, каде коефициентите a се позитивни цели броеви, при што збирот на експонентите x и y е еднаков на n за секој собирок. На пример:

$(x+y)^{4}\;=\;x^{4}\,+\,4x^{3}y\,+\,6x^{2}y^{2}\,+\,4xy^{3}\,+\,y^{4}.$

Коефициентите кои се појавуваат во биномниот развој се нарекуваат биномни коефициенти. Тие се идентични со броевите кои се појавуваат во Паскаловиот триаголник. Овие броеви може да се пресметаат со едноставна формула која користи факториел.

Истите овие коефициенти се јавуваат во комбинаториката, каде изразот x^n−ky^k е еднаков на бројот на различни комбинации од k елементи кои се бираат од множеството од n члена.

Формули

Коефициентот кој стои со x^n−ky^k е даден со формулата:

${n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}$

која е дефинирана со помош на функцијата факториел n!. Оваа формула може да се напише и на следниов начин:

${n \choose k}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}=\prod _{\ell =1}^{k}{\frac {n-\ell +1}{\ell }}$

каде k се фактори и во именителот и во броителот на дропката. Иако во оваа формула се користи дропка, биномните коефициенти се цели броеви.

Исказ на теоремата

Секој степен на изразот x + y може да се претстави во форма:

${\begin{aligned}(x+y)^{n}&={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+{n \choose 3}x^{n-3}y^{3}+\cdots \\&{}\qquad \cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},\end{aligned}}$

каде ${\tbinom {n}{k}}$ го означува соодветниот биномен коефициент. Друг начин на запишување на оваа формула е:

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}.$

Надворешни врски

• Вовед во биномната теорема Архивирано на 21 март 2019 г.