Веројатност

Кристијан Хајгенс, кој ја објавил првата книга за веројатност

Секоја реализација на „случка“ при однапред определени услови се нарекува „опит“. Притоа, веројатноста е процена на можноста да се случи одреден резултат (исход, настан) при спроведување на некој опит.

Историја на веројатноста

Научната работа на полето на веројатноста потекнува од творештвото на Џироламо Кардано (Girolamo Cardano) кој бил страстен љубител на комарот. Во 1565 година, Кардолано го објавил есејот за комарот „Liber de Ludo Alae“, кој претставува првиот сериозен обид да се постават основните принципи на веројатноста. Голем чекор напред во развојот на веројатноста се случил во 1654 година, кога еден француски благордник го замолил Блез Паскал да реши еден проблем поврзан со комарот. Во таа прилика, Паскал ги поставил основите на веројатноста. Кардано и Паскал го дефинирале веројатносната распределба, кој покажува колку пати одредена вредност може да се случи при спроведувањето на некој замислен опит.

Основни принципи во веројатноста

Настанот кој е потполно сигурен има веројатност еднаква на 1 или 100%. Настан кој е невозможен има веројатност еднаква на 0 или 0%. Сите други можни веројатности се наоѓаат меѓу 0 и 1.

Опит	Резултат	Веројатност	Веројатност (%)
Извлекување топче од кутија со црвени топчиња	извлечиме црвено топче	p=1	p=100%
Извлекување топче од кутија со црвени топчиња	извлечиме бело топче	p=0	p=0%
Фрлање фер монета	паѓа глава	p=0.5	p=50%
Фрлање две фер коцки	разликата е 1	p=10⁄36=0.278	p=27.8%
Жена патник на Титаник	опстане	p=0.73	p=73%

Опит

Еден опит е добро дефиниран ако:

• Опитот може под исти услови да се повтори голем број (безброј) пати
• Познати се сите можни исходи (резултати) од спроведувањето на опитот
• Еден и само еден исход е можен при секое спроведување на опитот

Во веројатноста, секој настан чиј исход е неизвесен се нарекува експеримент, а секое повторување на експерименот се нарекува опит. Можните резултати од експериментот се нарекуваат исходи, множеството од сите можни исходи од еден експеримент се нарекува простор на исходите, додека секое подмножество на просторот на исходите се нарекува настан. Настанот што се состои од еден исход се нарекува едноставен (прост) настан. Притоа, во рамките на просторот на исходите, одделните исходи може да имаат иста или различна можност за да се случат. На пример, ако фрламе дена монета, тогаш постојат два можни исхода: да падне „писмо“ или „глава“. Оттука, ако овие два исхода ги означиме со П и Г, тогаш просторот на исходите е: S = {П, Г}. Ако пак фрламе две монети истворемено, тогаш се можни следниве настани: да паднат две „глави“, да паднат две „писма“, да падне „глава“ на првата монета и писмо на втората, и да падне „писмо“ на првата монета и глава на втората. Оттука, просторот на исходите е: S = {ГГ, ПП, ГП, ПГ}.

Зборот експеримент најчесто се користи за повторување на истиот опит одреден број пати. Еден опит се вика стохастичен или случаен ако опитот е добро дефиниран. При спроведувањето на опитот, исходот не се знае однапред. На пример, фрлањето монета е стохастичен опит, зашто можните исходи се знаат: „глава“ и „петка“, но при фрлањето не се знае однапред кој исход ќе се оствари. Веројатноста е наука во која се проучуваат стохастични процеси (опити). Емпириската веројатност на еден исход х при спроведување на еден опит N пати е еднаков на ^M⁄_N, каде: M = „колку пати се случил исходот х. Емпириската веројатност е број помеѓу 0 и 1, односно процент помеѓу 0% и 100%. Теоретската веројатност на еден исход при спроведувањето на еден опит е број помеѓу 0 и 1 и претставува математичка проценка на емпириската веројатност на исходот при безбројно многу спроведувања. Значи, доколку се спроведува опитот голем број пати, тогаш би требало емпириската веројатност и теоретската веројатност да бидат приближно еднакви. Веројатноста P на еден исход х од еден опит се означува: P(x). Ако х е можен исход на еден опит, тогаш: 0 ≤ P(x)≤ 1, а збирот на сите можни исходи = 1.

Својства на веројатноста

Ако настанот A има n(A) исходи со подеднакви изгледи и ако просторот на исходите има n(S) исходи со еднакви изгледи, тогаш веројатноста да се случи настанот A изнесува:

$P(A)=\ {\frac {n(A)}{n(S)}}$

Ако A е настан кој претставува подмножество од конечен простор на исходи S, тогаш:

• 0 ≤ P(A) ≤ 1
• P(Ø) = 0
• P(S) = 1
• Ако P(A) = 0, тоа значи дека настанот A не може да се случи и тој се нарекува невозможен настан
• Ако P(A) = 1, тоа значи дека настанот A мора да се случи и тој се нарекува извесен настан.

Пресметка на веројатноста

Меѓусебно исклучиви настани

Два настани, A и B кои припаѓаат на истиот простор на исходи меѓусебно се исклучуваат ако немаат заеднички исход, односно нивниот пресек е празно множество. Веројатноста за да се случи еден од двата меѓусебно исклучиви настани се пресметува како збир на веројатностите за случување на секој поедничен настан. Оттука, ако A и B се два меѓусебно исклучиви настани, тогаш веројатноста да се случи A или B е: P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Во општ случај, ако A1, A2, A3... An се меѓусебно исклучиви настани од истиот простор на исходи, тогаш: P(A1 ∪ A2 ∪ A3... ∪ An) = A1 + A2 + A3 + ... An. Притоа, ако A1, A2, A3, .... An се меѓусебно исклучиви настани кои припаѓаат на просторот на исходи S така што A1 ∪ A2 ∪ A3... ∪ An) = S, тогаш важи принципот на собирање на веројатноста според кој P(A1 + A2 + A3... + An) = 1. Доколку A и B не се неопходно меѓусебно исклучиви настани, но се наоѓаат во истиот простор на исходи S, тогаш веројатноста на унијата на двата настана, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A∩B). Се разбира, со примена на оваа формула може да се најде и веројатноста на пресекот на два настана, која се пресметува на следниов начин: P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A∪B). Ако пак A е еден настан, тогаш множеството на сите исходи во просторот на исходи S кои не влегуваат во A се нарекува комплемент на настанот A. Притоа, A и неговиот комплемент се меѓусебно исклучиви настани зашто нивниот пресек е празно множество. Исто така, бидејќи настанот A и неговиот комплемент припаѓаат на истиот простор на исходи, збирот на нивните веројатности е еднаков на 1. На тој начин, веројатноста да се случи комплементот на A е еднаква на 1 - P(A).

Условна веројатност

Условна веројатност е веројатноста да се случи еден настан доколку веќе се случил некој друг настан. Веројатноста да се случи настанот A под услов да се случил настанот B се означува како P(A|B). Притоа, условната веројатност се пресметува на следниов начин: $P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$.

Бајесова теорема

Англискиот математичар Томас Бајес (Thomas Bayes) ја поставил формулата која овозможува условната веројатност да се пресмета и на друг начин. Според неа, условната веројатност да се случи настанот A доколу се случил настанот B се пресметува како:

$P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)P(A)}{P(B)}}$

Независни настани

Два настана се независни ако случувањето на едниот настан нема никакво влијание врз случувањето на другиот настан. Оттука, два настана се независни ако P(A|B) = P(A) или ако P(B|A) = P(B). Наспроти тоа, два настана кои не се независни се нарекуваат зависни. Ако два настана се независни, тогаш веројатноста да се случат двата настана заедно изнесува: P(A ∩ B) = P(A) • P(B).

Литература

1. Probability on Wikipedia Архивирано на 25 април 2013 г.
2. Empirical Probability on Wikipedia Архивирано на 2 март 2012 г.

Наводи

Описна статистика