Централна гранична теорема

Во теоретските и емпириските статистички истражувања во многу случаи не го знаеме обликот на основната маса, или тој значајно отстапува од нормалниот распоред. Но сепак користејќи ги резултатите на централната гранична теорема, можеме да го одредиме обликот на распоредот на аритметичките средини на примероците. Во теоријата за веројатност, се наведува дека централно гранична теорема (ЦГТ) во одредени дадени услови, ако основната маса има распоред со произволен облик, со аритметичка средина М и со варијанса σ² во тој случај распоредот на аритметичката срединa на сите прости случајни примероци со големина n ќе тежи кон нормалниот распоред, кога n → ∞. Централно граничната теорема има голем број на варијанти. Во нејзината општа форма, независните случаjни променливи (непознатите) мора да бидат идентично распределени. Постојат различни варијанти на оваа теорема, во кои не е задолжително променливите да имаат идентична веројатност, под услов ниту една од нив да нема доминантно влијание на конечната маса. Во практика сосема логично се поставува прашањето: колкав треба да биде примерокот за да можеме да ја користиме централната гранична теорема. Потребната големина на примерокот зависи од обликот на распоредот на основната маса. Доколку распоредот на основната маса повеќе отстапува од нормалниот, дотолку е потребен поголем примерок, и обратно. Правило е дека за голем примерок се смета примерокот од 30 и повеќе елементи, односно кога n ≥ 30 ќе сметаме дека важи Централната гранична теорема. Примерокот помал од 30 елементи го нарекуваме мал примерок.

Централна гранична теорема за независни секвенци (низи)

Класична централна гранична теорема

На сликата се гледа дека, со зголемување на n, односно на примерокот, различните распределби тежат кон нормална распределба

Нека {X₁, ..., X_n} биде случаен примерок со големина n, а низата на самостојни и идентично распределени случајни променливи извлечени од распоредот на очекуваните вредности дадени од страна на µ и конечните варијанти (разлики) дадени од страна на σ². Да претпоставиме дека сме заинтересирани за средина на примерокот од овие случајни променливи. Според законот на големи броеви, во просек примерокот конвергира на веројатност и речиси сигурно на очекуваната вредност µ како n → ∞. Класичната централна гранична теорема ја опишува големината и распоредниот облик на стохастички флуктуации околу детерминистичкиот број µ во текот на оваа конвергенција. Поточно, стои дека како што n се зголемува, распоредот на разликата помеѓу просекот на примерокот S_n и неговиот лимит µ, кога ќе се помножи со факторот √n (тоа е √n (S_n − µ)),ќе се добие приближно нормален распоред со средна вредност 0 и варијанса σ². За доволно голем број на примероци распоредот на аритметичките средини на примероците е приближно нормален со средна вредност µ и варијанса σ². Корисноста на теоремата е дека распоредот на √n(S_n − µ) пристапува нормално без оглед на обликот на распоредот на поединечниот X_is.

Други дополнителни теореми кои ја опишуваат централната гранична теорема се :

Lindeberg–Lévy ЦГТ

Lyapunov ЦГТ

Lindeberg ЦГТ

Multidimensional ЦГТ

Историја

Централната гранична теорема има интересна историја. Првата верзија на оваа теорема била објавена од страна на францускиот математичар Abraham de Moivre кој во извонреден напис објавен во 1733 год, ја употребил нормалната распределба за да ја пресмета веројатноста на добиени „глави“ како резултат од фрлања на паричка. Ова откритие било далеку пред своето време, и било речиси заборавено сè додека познатиот француски математичар Пјер Симон Лаплас го спасил од анонимност во неговото монументално дело Théorie Analytique des Probabilités, кое било објавено во 1812 г.. Laplace го проширил De Moivre-овото откритие преку приближување на биномната распределба со нормална распределба. Но како и со De Moivre, наодите на Laplace добиле малку внимание во нивното време. Сè до крајот на XIX век не беше распознаена важноста на централната гранична теорема, кога во 1901-та Рускиот математичар Aleksandr Lyapunov ја дефинирал во генерални рамки и докажал како таа функционира математички. Во денешно време централната гранична теорема се смета за неофицијална врховност на теоријата на веројатност.

Поврзано

• Теорија на веројатноста
• Статистика
• Варијанса
• Аритметичка средина
• Теорема
• Случајна променлива
• Конвергенција
• Стадардна девијација
• Нормална распределба
• Интервал на доверба

Надворешни врски

• Статистика за бизнис и економија - проф.д-р. Славе Ристески, проф.д-р. Драган Тевдовски Архивирано на 28 август 2012 г.
• The Life and Times of the Central Limit Theorem
• Statistical Visions in Time: A History of Time Series Analysis, 1662-1938