Naar inhoud springen

Stelling van Liouville

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Volgens de stelling van Liouville is elke begrensde complexe analytische functie constant. Dit betekent: Als voor een holomorfe functie een reëel getal bestaat zo dat voor elke , dan is een constante functie.

De stelling van Liouville laat zien wat een sterke eigenschap holomorfe differentieerbaarheid voor een complexe functie is. De stelling kan onder andere in het bewijs van de hoofdstelling van de algebra worden gebruikt. De stelling is naar de Franse wiskundige Joseph Liouville (1809-1882) genoemd.

Bewijs 

De functie kan worden ontwikkeld in een taylorreeks:

De coëfficiënten zijn te vinden met een kringintegraal:

Hier is de cirkel rond 0 met straal . De absolute waarde van de coëfficiënten kunnen worden afgeschat door:

Omdat is begrensd: voor elke , en op , volgt:

Aangezien dit voor elke cirkel geldt, ongeacht de straal, volgt automatisch dat gelijk aan 0 moet zijn. De enige uitzondering is , , zodat de enige term uit de taylorreeks is die overblijft.

Zij een gehele functie waarvoor geldt dat er een en bestaan waarvoor geldt dat als , dan volgt daaruit op dezelfde manier als voorgaande stelling dat:

Zij nu en laat men dan is . Waaruit volgt dat de taylorexpansie van gelijk is aan:

Met andere woorden de functie is een polynoom van de graad .