Vinkel

En vinkel er den figuren (eller formen) som formes av to stråler fra et felles punkt, av to plan som skjærer hverandre langs en felles linje eller av en rett linje som skjærer et plan.^[1] I matematikk kan en vinkel også generaliseres som et abstrakt begrep, i et indreproduktrom.

Vinkler brukes i mange praktiske anvendelser og måles da vanligvis i grader. I matematikk studeres vinkler i emner som geometri og trigonometri, og måleenheten er ofte radianer.

Grunnleggende begrep for vinkler i planet

En vinkel i et plan er bestemt av to stråler, kalt vinkelbein. De to strålene starter i et felles punkt, kalt vinkelens toppunkt eller vinkelspiss.

Dersom vinkelens toppunkt er O, og A og B er punkt på hver av de to strålene som danner vinkelen, så betegner en i geometri vinkelen ved AOB eller $\angle \,$ AOB. Er det kun én vinkel med toppunkt i O, så kan vinkelen betegnes entydig med $\angle$ O. Vinkler kan også gis egne navn, som $u$ , $v$ og $w$ .

I figurer markerer en gjerne vinkler ved hjelp av små sirkelbuer. En rett vinkel markeres ved å tegne et lite kvadrat med hjørne i toppunktet og to av sidene langs vinkelbeina.

Vinkelen sies å spenne ut en sirkelbue, når denne har sentrum i vinkelens toppunkt og start- og sluttpunkt på vinkelbeina.

Vinkler kan tegnes ved hjelp av ulike måleinstrumenter. I klassisk geometri tillater en kun hjelpemidlene passer og linjal^[2], og en vinkel tegnet med disse hjelpemidlene sies å være konstruert. Ikke alle vinkler lar seg konstruere.

Vinkelmål

Vinkelen α er proporsjonal med buelengden når radien er gitt.

Definisjon av måleenheter for vinkler tar utgangspunkt i en sirkelbue utspent av vinkelen. Et generelt mål $\alpha$ for en vinkel med toppunkt i O og med vinkelbein OA og OB kan defineres med formelen

\alpha =k{\frac {s}{r}},

der $k$ er en konstant, $s$ er lengden av den sirkelbuen AB og $r$ er radien i sirkelbuen. Buelengden til en full sirkel er $2\pi r$ , slik at vinkel som utspenner en brøkdel $b$ av sirkelen vil ha vinkelmål

\alpha =2kb\pi

Vinkelmålene er dermed uavhengig av radien på sirkelbuen som brukes til å bestemme vinkelen.

Ulike valg av konstanten $k$ gir ulike definisjoner av måleenheten.

Omdreininger

En komplett sirkel kan defineres til å svare til en vinkel på 1 omdreining, det vil si at vinkelmålet $\alpha =b$ svarer til brøken mellom den utspente sirkelbuen og hele sirkellengden.

Radianer

I matematikk brukes ofte vinkelmålet radianer. For denne måleenheten er $k=1$ , og en vinkel som spenner ut en hel sirkel har vinkelmål $2\pi$ :

\alpha ={\frac {s}{r}}

Siden måleenheten ikke avhenger av en tilfeldig valgt konstant $k$ , kalles radianer for et absolutt vinkelmål.^[2] Radianer er SI-systemets enhet for vinkelmål.

Grader

I praktiske anvendelser måles vinkler ofte i grader, forkortes som °. En vinkel som spenner ut en hel sirkel er bestemt til å være 360°. Vinkelmål-konstanten er definert til $k=360/2\pi =180/\pi$ , slik at vinkelmålet er

\alpha ={\frac {180s}{\pi r}}.

En grad kan deles inn i 60 minutter (′), og et minutt kan deles inn i 60 sekunder (″). For å skille mellom vinkelmålene og tidsenhetene brukes ofte forstavelsen «bue», slik at enhetene blir bueminutt og buesekund.

Gon

Et nyere vinkelmål er gon eller gradianer, tidligere kalt nygrader. Enheten forkortes som ^g). En full sirkel er bestemt til å være 400 gon. Dette gir konstanten $k=400/2\pi =200/\pi$ .

Motivasjonen var et ønske om å ha et vinkelmål basert på titallssystemet, med en rett vinkel svarende til 100 gon.

Timer

For måling av visse typer vinkler på himmelen brukes i astonomi en inndeling av sirkelen i 24 timer. Dette vinkelmålet brukes til himmelkoordinatene timevinkel og rektascensjon, som begge måles i timer, minutter og sekunder. En time tilsvarer 15° og 1° tilsvarer 4 minutter. Disse minuttene og sekundene må ikke forveksles med bueminutter og buesekunder, som er brøkdeler av én grad.

Koblingen mellom tid og vinkel kommer av at solens timevinkel tilsvarer tiden som er gått siden den sist stod i syd.

Vinkelverktøy

En rett vinkel kan tegnes ved hjelp av en vinkelhake.

Et verktøy for måling av vilkårlige vinkler kalles generelt et goniometer. Det finnes mange slike instrument laget for spesielle formål, for eksempel til bruk i medisin og i krystallografi.

Til bruk i sløyd og snekkerarbeid finnes det vinkelmålere med faste eller stillbare vinkler, for eksempel i form av en trekant. En smygvinkel er en stillbar vinkelhake som kan brukes til å overføre en vinkel fra en tegning til noe som en arbeider med. I dag finnes det også et utvalg av digitale vinkelmålere.

En gradskive eller transportør er en halv- eller helsirkel i plast, tre eller metall. Gradeinndeling gjør at denne kan brukes til å tegne eller måle vinkler.

I navigasjon kan en bruke en sekstant for å måle vinkelen mellom et himmellegeme, vanligvis sola, og horisonten.

Vinkeltyper

Enkeltstående vinkler

En rett vinkel er en vinkel på 90°.
En skrå vinkel er en vinkel som ikke er rett.
En spiss vinkel er en vinkel som er mindre enn 90°.
En stump eller butt vinkel er en vinkel som er større enn 90°.
En konkav vinkel er en vinkel som er mindre en 180°.^[3]
En konveks vinkel er en vinkel som er større en 180°.^[3]
En perigon er en vinkel på 360°.
En sentralvinkel har toppunkt i sentrum av en sirkel.
En periferivinkel har toppunkt på omkretsen av en sirkel.

Vinkelpar

Nabovinkler er to vinkler som har felles toppunkt og også et felles vinkelbein.
Komplementvinkler er nabovinkler som til sammen utgjør 90°. Når to vinkler a og b er komplementvinkler, så er a komplement til b og også omvendt.
Supplementvinkler er nabovinkler som til sammen utgjør 180°.
Eksplementvinkler er nabovinkler som til sammen utgjør 360°.
Toppvinkler er to like vinkler som dannes av de samme to linjene, med et felles toppunkt.

Vinkler knyttet til polygon

Til et enkelt polygon (mangekant) er det knyttet

En indre vinkel er vinkelen mellom to sider inne i polygonet.
En ytre vinkel er vinkelen mellom en side og forlengningen av en annen side, målt på utsiden av polygonet. En ytre vinkel er supplementær til en indre vinkel, og omvendt.

Positive og negative vinkler

Definisjonen av vinkelmålet resulterer bare i ikke-negative vinkler. Ofte tar en i bruk en tilleggskonvensjon som bestemmer et fortegn til vinkelen. Fortegnet blir bestemt ut fra orientering til vinkelbeina. For matematikk i planet blir ett av vinkelbeina definert som referanse, og vinkelen er positiv dersom dette beinet må rotere mot klokka langs sirkelbuen i vinkelen, for å møte det andre vinkelbeinet. Må en rotere med klokka, så er vinkelen negativ.

I navigasjon og landmåling regnes vinkelen asimut fra nord og positiv i retning med klokka.

I mange sammenhenger er en vinkel i radianer $v$ identisk med vinkelen $(2n\pi -v)$ , der $n$ er et vilkårlig helt tall. I slike sammenhenger vil for eksempel vinkelen $(-\pi )$ være identisk med vinkelen $\pi$ , et eksempel på modulær aritmetikk.

I det tredimensjonale rommet har begrepet «rotasjon mot klokka» ingen entydig mening. Fortegnet til en vinkel kan defineres relativt til det planet som vinkelen ligger i, forutsatt at dette planet kan orienteres på en entydig måte.

I analytisk geometri kan fortegnet til en vinkel defineres ut fra skalarproduktet mellom to vektorer som definerer vinkelbeina.

Vinkler i euklidsk geometri

I euklidsk geometri i planet og rommet kan vinkelen mellom to vektorer bestemes fra skalarproduktet mellom vektorene. Gitt to vektorer i $\mathbf {R} ^{3}$ som $\mathbf {v} =(v_{1},v_{2},v_{3})$ og $\mathbf {w} =(w_{1},w_{2},w_{3})$ . Vinkelen $\alpha$ mellom disse er gitt ved

{\begin{alignedat}{2}\cos \alpha &={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }{|\mathbf {v} ||\mathbf {w} |}}\\[5pt]&={\frac {v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}}{{\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}{\sqrt {w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}}}}\end{alignedat}}

Cauchy–Schwarz’ ulikhet sikrer at dette uttrykket alltid definerer en vinkel.

De to vektorene står normalt på hverandre når skalarproduktet er lik null: $\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} =0$ . Dette kan også uttrykkes som at vektorene er ortogonale eller perpendikulære.

Vinkelen mellom to kurver

Vinkelen mellom to kurver som skjærer hverandre i et punkt P er definert som vinkelen mellom tangentene til de to kurvene i P.

Vinkelen mellom en linje og et plan

Vinkelen mellom en linje og et plan er definert som vinkelen mellom linjen og projeksjonen av linjen i planet. Linjen står normalt på planet dersom projeksjonen av linjen er et punkt.

Vinkelen mellom to plan

Vinkelen mellom to plan som har en felles skjæringslinje kalles dihedral vinkel og defineres til å være lik vinkelen mellom normalene til de to planene.

Generalisering til generelle indreproduktrom

Vinkelbegrepet kan generaliseres til et generelt indreproduktrom, ved at vinkelen $\alpha$ mellom to vektorer i rommet $\mathbf {v}$ og $\mathbf {w}$ defineres ved^[4]

\cos \alpha ={\frac {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle }{\|\mathbf {v} \|\|\mathbf {w} \|}}

.

Her er $\langle \cdot \,,\cdot \rangle$ indreproduktet og $\|\cdot \|$ normen i rommet. Som for vektorer i euklidske rom sier en at vektorene er ortogonale dersom vinkelen mellom dem er lik null.

Med en vinkeldefinisjonan i et generelt indreproduktrom kan en snakke om vinkler også for andre objekter enn geometriske: det er for eksempel mulig å definere vinkler mellom funksjoner. Ortogonale funksjoner spiller en viktig rolle i interpolasjonsteori.

Etymologi

Ordet «vinkel» har opphav i det tyske ordet «winkel», som igjen stammer fra gammel høytysk «winkil», med betydning «være bøyet».^[5] Ordet er i slekt med de norske ordet «vinke» og det engelse «wink» - å blinke.

Det gresek ordet «gonia» ble brukt om en vinkel eller et hjørne, og stavelsen «gon» finnes både i måleenheten for vinkler og som ledd i ord som goniometer, polygon og trigonometri.^[6]

Det latinske ordet «norma» betegnet en vinkelhake, brukt av håndverkere for å lage rette vinkler, og vi har arvet dette ordet i vår bruk av «normal» om en rett linje som står vinkelrett på en annen linje.^[6]

Se også

Verktøy

Referanser

^ E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. ISBN 0-00-434347-6. [Angle]
^ ^a ^b Byrge Birkeland, Trygve Breiteig, Hans Erik Borgersen (2009). MA-132 Geometri. Kompendium (PDF). Kristiansand: Universitetet i Agder.
^ ^a ^b Bjørghild Kjelsvik, red. (2016). Bokmålsordboka. Universitetet i Bergen. [Vinkel]
^ Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6. s.185
^ Yann de Caprona (2013). Norsk etymologisk ordbok. Oslo: Kagge forlag. ISBN 978-82-489-1054-1.
^ ^a ^b Steven Schwartzman (1994). The words of mathematics. An etymological dictionary of mathematical terms used in English. Washington, DC: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-511-9.

[COLLINS-1] E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. ISBN 0-00-434347-6. [Angle]

[UIA-2] Byrge Birkeland, Trygve Breiteig, Hans Erik Borgersen (2009). MA-132 Geometri. Kompendium (PDF). Kristiansand: Universitetet i Agder.

[BM-3] Bjørghild Kjelsvik, red. (2016). Bokmålsordboka. Universitetet i Bergen. [Vinkel]

[MILNE-4] Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6. s.185

[ETYM-5] Yann de Caprona (2013). Norsk etymologisk ordbok. Oslo: Kagge forlag. ISBN 978-82-489-1054-1.

[TERM-6] Steven Schwartzman (1994). The words of mathematics. An etymological dictionary of mathematical terms used in English. Washington, DC: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-511-9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]