Liczba epsilonowa

Liczba epsilonowa – liczba porządkowa $\varepsilon$ o tej własności, że

$\varepsilon =\omega ^{\varepsilon }.$

Najmniejszą liczbą epsilonową jest liczba

$\varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdots }}}=\sup\{\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\dots \}.$

Liczba $\varepsilon _{0}$ jest przeliczalna – ma ona zastosowanie w wielu dowodach pozaskończonych, na przykład w dowodzie twierdzenia Goodsteina. Kolejne liczby epsilonowe indeksujemy kolejnymi liczbami porządkowymi, na przykład:

$\varepsilon _{0},\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\dots ,\varepsilon _{\omega },\dots ,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},\dots ,\varepsilon _{\omega _{1}},\dots .$

$\varepsilon _{1}=\sup\{\varepsilon _{0}+1,\varepsilon _{0}\cdot \omega ,{\varepsilon _{0}}^{\omega },{\varepsilon _{0}}^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }},\dots \}=\sup\{0,1,\varepsilon _{0},{\varepsilon _{0}}^{\varepsilon _{0}},{\varepsilon _{0}}^{{\varepsilon _{0}}^{\varepsilon _{0}}},\dots \}$

$\varepsilon _{\omega }=\sup\{\varepsilon _{0},\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\dots \}.$

Własności

• Liczba $\varepsilon _{\alpha }$ jest przeliczalna wtedy i tylko wtedy, gdy liczba $\alpha$ jest przeliczalna.
• Każda nieprzeliczalna liczba kardynalna jest liczbą epsilonową.
• Suma (mnogościowa) dowolnej niepustej rodziny liczb epsilonowych jest liczbą epsilonową.
• Każda liczba epsilonowa jest nierozkładalna, to znaczy jeśli $\varepsilon$ jest liczbą epsilonową oraz $\alpha ,\beta <\varepsilon ,$ to $\alpha +\beta <\varepsilon .$
• Jeśli $\varepsilon$ jest liczbą epsilonową, to

(a) $\beta +\varepsilon =\varepsilon$ dla każdej liczby $\beta <\varepsilon ,$

(b) $\beta \cdot \varepsilon =\varepsilon$ dla każdej liczby $1\leqslant \beta <\varepsilon ,$

(c) $\beta ^{\varepsilon }=\varepsilon$ dla każdej liczby $2\leqslant \beta <\varepsilon .$

Zastosowania

• Dowód twierdzenia Goodsteina.
• Liczby epsilonowe można zastosować do uzasadnienia następującego twierdzenia: istnieje nieskończenie wiele par liczb porządkowych $(\alpha ,\beta )$ takich, że $\alpha ^{\beta }=\beta ^{\alpha }$ (zauważmy, że wśród liczb naturalnych taką własność mają jedynie pary (2,4) i (4,2)). Przypomnijmy, że dla dowolnej liczby porządkowej $\alpha$ (zob. arytmetyka liczb porządkowych) zachodzi równość $\alpha \cdot \omega =(\alpha +1)\cdot \omega .$ Istotnie, $\alpha \cdot \omega \leqslant (\alpha +1)\cdot \omega \leqslant (\alpha +\alpha )\cdot \omega =(\alpha \cdot 2)\cdot \omega =\alpha \cdot (2\cdot \omega )=\alpha \cdot \omega .$ Jeśli $\varepsilon$ jest dowolną liczbą epsilonową, to dla $\alpha =\omega$ oraz $\beta =\varepsilon \cdot \omega$ para $(\alpha ,\beta )$ ma żądaną własność. Istotnie:

$\beta ^{\alpha }=(\varepsilon \cdot \omega )^{\omega }=(\omega ^{\varepsilon }\cdot \omega )^{\omega }=(\omega ^{\varepsilon +1})^{\omega }=\omega ^{\varepsilon \cdot \omega }=\alpha ^{\beta }.$

Zobacz też

• liczba porządkowa Bachmanna-Howarda

Bibliografia

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria Mnogości. Warszawa: PWN, 2007. ISBN 978-83-01-15232-1. Brak numerów stron w książce
• Wacław Sierpiński: Cardinal and ordinal numbers. Wyd. drugie poprawione. Warszawa: PWN, 1965. Brak numerów stron w książce