Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Liczba epsilonowa – liczba porządkowa
ε
{\displaystyle \varepsilon }
ε
=
ω
ε
.
{\displaystyle \varepsilon =\omega ^{\varepsilon }.}
Najmniejszą liczbą epsilonową jest liczba
ε
0
=
ω
ω
ω
⋯
=
sup
{
ω
,
ω
ω
,
ω
ω
ω
,
ω
ω
ω
ω
,
…
}
.
{\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdots }}}=\sup\{\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\dots \}.}
Liczba
ε
0
{\displaystyle \varepsilon _{0}}
przeliczalna – ma ona zastosowanie w wielu dowodach pozaskończonych , na przykład w dowodzie twierdzenia Goodsteina . Kolejne liczby epsilonowe indeksujemy kolejnymi liczbami porządkowymi, na przykład:
ε
0
,
ε
1
,
ε
2
,
…
,
ε
ω
,
…
,
ε
ε
0
,
…
,
ε
ω
1
,
…
.
{\displaystyle \varepsilon _{0},\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\dots ,\varepsilon _{\omega },\dots ,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},\dots ,\varepsilon _{\omega _{1}},\dots .}
ε
1
=
sup
{
ε
0
+
1
,
ε
0
⋅
ω
,
ε
0
ω
,
ε
0
ε
0
ω
,
…
}
=
sup
{
0
,
1
,
ε
0
,
ε
0
ε
0
,
ε
0
ε
0
ε
0
,
…
}
{\displaystyle \varepsilon _{1}=\sup\{\varepsilon _{0}+1,\varepsilon _{0}\cdot \omega ,{\varepsilon _{0}}^{\omega },{\varepsilon _{0}}^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }},\dots \}=\sup\{0,1,\varepsilon _{0},{\varepsilon _{0}}^{\varepsilon _{0}},{\varepsilon _{0}}^{{\varepsilon _{0}}^{\varepsilon _{0}}},\dots \}}
ε
ω
=
sup
{
ε
0
,
ε
1
,
ε
2
,
…
}
.
{\displaystyle \varepsilon _{\omega }=\sup\{\varepsilon _{0},\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\dots \}.}
Liczba
ε
α
{\displaystyle \varepsilon _{\alpha }}
α
{\displaystyle \alpha }
Każda nieprzeliczalna liczba kardynalna jest liczbą epsilonową.
Suma (mnogościowa) dowolnej niepustej rodziny liczb epsilonowych jest liczbą epsilonową.Każda liczba epsilonowa jest nierozkładalna, to znaczy jeśli
ε
{\displaystyle \varepsilon }
α
,
β
<
ε
,
{\displaystyle \alpha ,\beta <\varepsilon ,}
α
+
β
<
ε
.
{\displaystyle \alpha +\beta <\varepsilon .}
Jeśli
ε
{\displaystyle \varepsilon }
(a)
β
+
ε
=
ε
{\displaystyle \beta +\varepsilon =\varepsilon }
β
<
ε
,
{\displaystyle \beta <\varepsilon ,}
(b)
β
⋅
ε
=
ε
{\displaystyle \beta \cdot \varepsilon =\varepsilon }
1
⩽
β
<
ε
,
{\displaystyle 1\leqslant \beta <\varepsilon ,}
(c)
β
ε
=
ε
{\displaystyle \beta ^{\varepsilon }=\varepsilon }
2
⩽
β
<
ε
.
{\displaystyle 2\leqslant \beta <\varepsilon .}
Dowód twierdzenia Goodsteina .
Liczby epsilonowe można zastosować do uzasadnienia następującego twierdzenia: istnieje nieskończenie wiele par liczb porządkowych
(
α
,
β
)
{\displaystyle (\alpha ,\beta )}
α
β
=
β
α
{\displaystyle \alpha ^{\beta }=\beta ^{\alpha }}
(zauważmy, że wśród liczb naturalnych taką własność mają jedynie pary (2,4) i (4,2)). Przypomnijmy, że dla dowolnej liczby porządkowej
α
{\displaystyle \alpha }
arytmetyka liczb porządkowych ) zachodzi równość
α
⋅
ω
=
(
α
+
1
)
⋅
ω
.
{\displaystyle \alpha \cdot \omega =(\alpha +1)\cdot \omega .}
α
⋅
ω
⩽
(
α
+
1
)
⋅
ω
⩽
(
α
+
α
)
⋅
ω
=
(
α
⋅
2
)
⋅
ω
=
α
⋅
(
2
⋅
ω
)
=
α
⋅
ω
.
{\displaystyle \alpha \cdot \omega \leqslant (\alpha +1)\cdot \omega \leqslant (\alpha +\alpha )\cdot \omega =(\alpha \cdot 2)\cdot \omega =\alpha \cdot (2\cdot \omega )=\alpha \cdot \omega .}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
α
=
ω
{\displaystyle \alpha =\omega }
β
=
ε
⋅
ω
{\displaystyle \beta =\varepsilon \cdot \omega }
(
α
,
β
)
{\displaystyle (\alpha ,\beta )}
β
α
=
(
ε
⋅
ω
)
ω
=
(
ω
ε
⋅
ω
)
ω
=
(
ω
ε
+
1
)
ω
=
ω
ε
⋅
ω
=
α
β
.
{\displaystyle \beta ^{\alpha }=(\varepsilon \cdot \omega )^{\omega }=(\omega ^{\varepsilon }\cdot \omega )^{\omega }=(\omega ^{\varepsilon +1})^{\omega }=\omega ^{\varepsilon \cdot \omega }=\alpha ^{\beta }.}
