Dowód (matematyka)

Dowód – wykazanie, że pewne zdanie jest prawdziwe. Dowód należy odróżnić od empirycznego lub heurystycznego rozumowania. Każdy krok dowodu musi jasno wynikać z poprzednich lub być przyjętym aksjomatem; rozumowanie niespełniające tego warunku nie jest dowodem. Ostatni krok dowodu to udowodnione zdanie, które w ten sposób staje się twierdzeniem danej teorii. Zwyczajowo koniec dowodu oznacza się skrótem q.e.d. (quod erat demonstrandum), c.n.d. (co należało dowieść), c.b.d.o. (co było do okazania) lub podobnym.

Metody dowodu

O ile nie istnieje żaden wyczerpujący podział dowodów, można wyróżnić niektóre metody używane w dowodach:

• Dowód wprost polegający na przyjęciu założeń i bezpośrednim wykazaniu tezy. Przykład: udowodnimy, że suma dwóch liczb parzystych jest liczbą parzystą. Wiemy, że liczby parzyste to takie, które można zapisać w postaci $2k,$ gdzie $k$ jest całkowite; suma dwóch liczb parzystych wynosi $2k+2l=2(k+l),$ co jest również liczbą parzystą, c.n.d.
• Dowód nie wprost (dowód apagogiczny) polegający na przyjęciu, że twierdzenie jest fałszywe i wykazaniu, że dochodzi się do niedorzeczności. Przykładem może być dowód niewymierności pierwiastka z dwóch: załóżmy, że ${\sqrt {2}}$ jest liczbą wymierną, jednak to założenie prowadzi do sprzeczności.
• Dowód kombinatoryczny to specyficzny rodzaj dowodu używany przy tożsamościach kombinatorycznych, zwykle polegający na policzeniu możliwości ustawień na dwa sposoby. Przykład: Udowodnimy, że dla $n,k\geqslant 1$ zachodzi ${\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n-1}{k}}+{\tbinom {n-1}{k-1}}.$ Wyobraźmy sobie, że mamy wybrać $k$ spośród $n$ osób. Możemy to zrobić na ${\tbinom {n}{k}}$ sposobów. Możemy wyróżnić jedną z osób, nazwijmy ją X. Jeżeli wybierzemy X-a, to pozostanie nam ${\tbinom {n-1}{k-1}}$ sposobów na wybranie pozostałych osób. Jeżeli nie wybierzemy X-a, to pozostanie nam ${\tbinom {n-1}{k}}$ sposobów. Te możliwości są wyczerpujące i rozłączne; zatem ${\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n-1}{k}}+{\tbinom {n-1}{k-1}}.$

Geometryczny dowód twierdzenia Pitagorasa

• Dowód geometryczny polega na wykorzystaniu metod geometrii, takich jak przystawanie i podobieństwo figur. Dowody geometryczne mogą być wykorzystywane również poza geometrią (patrz geometryczny dowód niewymierności pierwiastka z 2)
• Dowód indukcyjny to dowód wykorzystujący zasadę indukcji matematycznej.
• Metoda przekątniowa to rodzaj rozumowania używany w dowodach, że nie istnieje pewien obiekt. Przykłady twierdzeń, które można udowodnić w ten sposób: zbiór liczb rzeczywistych nie jest przeliczalny, twierdzenie Cantora, nierozwiązywalność problemu stopu.
• Użycie wspomagania komputerowego, np. dowód twierdzenia o czterech barwach. Takie dowody wzbudzają kontrowersje, gdyż niemożliwe jest zweryfikowanie ich przez człowieka. Innym przykładem użycia komputerów jest rozproszony projekt Seventeen or Bust sprawdzający potencjalnych kandydatów na liczby Sierpińskiego.
• Dowód niezależności to dowód, że pewnego zdania nie można udowodnić. Przykładem jest dowód niezależności hipotezy continuum, wykorzystujący forsing.
• Dowód konstruktywny to dowód polegający na znalezieniu pewnego obiektu spełniającego wymagane założenia. Przykład: aby udowodnić, że wielomian $x^{3}-8$ ma pierwiastek rzeczywisty, wystarczy zauważyć, że jest nim liczba 2. Aby udowodnić, że każdy graf spójny zawierający co najwyżej dwa wierzchołki stopnia nieparzystego ma drogę Eulera, można podać algorytm znajdujący ją.
• Dowód niekonstruktywny to dowód polegający na wykazaniu, że istnieje obiekt spełniający założenia, jednak bez konstrukcji. Przykład: aby udowodnić, że wielomian $x^{3}-8$ ma pierwiastek rzeczywisty, zauważmy, że przyjmuje on wartość ujemną dla $x=0$ i dodatnią dla $x=100.$ Ponieważ $y=x^{3}-8$ jest funkcją ciągłą, z twierdzenia Cauchy’ego wynika, że wielomian ma miejsce zerowe w przedziale $(0,100).$ Innym przykładem jest wykorzystanie zasady szufladkowej Dirichleta.
• Dowód nieefektywny to dowód wykorzystujący aksjomat wyboru.

W złożonych, wielostopniowych dowodach wykorzystuje się twierdzenia pomocnicze, tzw. lematy.

Rola dowodu matematycznego

Dowód matematyczny może przyjmować następujące role:

1. rola weryfikacyjna (pozwala stwierdzić poprawność hipotezy);
2. rola wyjaśniająca (pozwala znaleźć powód dla którego dane twierdzenie jest prawdziwe);
3. rola wyjaśniająca (pozwala uzyskać społeczną aprobatę);
4. rola systemacyzacyjna (pozwala uporządkować różne wyniki zgodnie z systemem głównych pojęć i twierdzeń);
5. rola komunikacyjna (pozwala przekazywać innym gotowe wyniki i obserwacje);
6. rola estetyczna (pozwala dane rozumowanie zapisać w sposób elegancki i klarowny);
7. rola satysfakcjonująca (pozwala odczuć satysfakcję, radość, dumę i uczucie odniesienia sukcesu po skutecznym przeprowadzeniu dowodu);
8. rola transferowa (pozwala zachować techniki dowodowe, które mogą okazać się przydatne w dowodzeniu lub zrozumieniu innych twierdzeń).

Dowód formalny

W teorii sformalizowanej dowód przyjmuje ścisłą formę tak zwanego dowodu formalnego, który jest skończonym ciągiem wyrażeń $p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n}$ ustalonego języka sformalizowanego, takim że dla każdego $i=1,\dots ,n:p_{i}$ jest aksjomatem lub $p_{i}$ jest wnioskiem z przesłanek $p_{j},p_{k}$ (gdzie $j,k<i$) wyprowadzonym przez zastosowanie przyjętej reguły dedukcyjnej.

Jeżeli dany ciąg $p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}$ jest dowodem formalnym przy zbiorze aksjomatów $A,$ to mówi się, że jest to dowód formalny dla $p_{n}$ z $A$ oraz że $p_{n}$ da się dowieść z $A.$

Dowodem formuły $A,$ w oparciu o zbiór formuł $X$ nazywamy każdy skończony ciąg formuł $D_{1},D_{2},D_{3},\dots ,D_{n}$ taki, że $D_{n}=A$ (czyli ostatnia formuła w tym ciągu jest identyczna z formułą dowodzoną) oraz dla każdego wskaźnika $k<$ $n$ spełniony jest przynajmniej jeden z nastepujących warunków:

• $D_{k}\in$$X$ (czyli formuła $D_{k}$ może być wzięta ze zbioru, w oparciu o który dowód jest prowadzony);
• istnieją: wskaźnik $j<$ $k$, formuła $B$ oraz wskaźnik $i$ takie, że $D_{k}=S(B,p_{i},D_{j})$ (czyli $D_{k}$ powstaje z pewnej wcześniejszej formuły $D_{j}$ przez zastosowanie reguły podstawiania);
• istnieją takie $i,j$, że $i<k,j<k$ oraz $D_{j}=\ulcorner D_{i}\to D_{k}\urcorner$ (czyli $D_{k}$ podstaje z pewnych wcześniejszych formuł $D_{i}$ oraz $D_{j}$ przez zastosowanie reguły odrywania reguły odrywania)

Zobacz też

• automatyczne dowodzenie twierdzeń
• teoria dowodu

Linki zewnętrzne

• Wiktor Bartol, O dowodzeniu, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 15 września 2017 [dostęp 2024-09-04].
• MarcusM. Giaquinto MarcusM., The Epistemology of Visual Thinking in Mathematics, [w:] Stanford Encyclopedia of Philosophy, CSLI, Stanford University, 2 października 2015, ISSN 1095-5054 [dostęp 2018-08-07]  (ang.). (Epistemologia myślenia wzrokowego w matematyce) – artykuł m.in. o dowodach graficznych
• Roman Murawski, On a Proof in Mathematics, Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych – Uniwersytet Jagielloński, kanał „Copernicus” na YouTube, 13 marca 2012 [dostęp 2024-09-04].