Średnia kwadratowa

Średnia kwadratowa (niekiedy RMS^[a], od ang. root mean square) – przykład miary statystycznej pozwalającej oszacować rząd wielkości serii danych liczbowych lub funkcji ciągłej, użyteczny zwłaszcza w przypadku, gdy wielkości różnią się znakiem.

Średnia kwadratowa jest szczególnym przypadkiem innej miary, jest to mianowicie średnia potęgowa rzędu 2, jednak ze względu na jej znaczenie praktyczne ma odrębną nazwę.

Dla rozkładu dyskretnego

Średnia kwadratowa $n$ liczb $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ jest to pierwiastek ze średniej arytmetycznej kwadratów tych liczb^[1]:

M_{2}:={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}}{n}}}.

Na przykład średnia kwadratowa liczb 2, 2, 5 i 7 jest równa:

M_{2}={\sqrt {\frac {2^{2}+2^{2}+5^{2}+7^{2}}{4}}}\approx 4{,}53.

Ważona średnia kwadratowa jest to średnia kwadratowa z uwzględnieniem wag poszczególnych składników:

M_{2W}={\sqrt {\frac {w_{1}\cdot a_{1}^{2}+w_{2}\cdot a_{2}^{2}+\ldots +w_{n}\cdot a_{n}^{2}}{w_{1}+w_{2}+\ldots +w_{n}}}}.

Dla rozkładu ciągłego

Średnią kwadratową funkcji ciągłej $x(t)$ określonej w przedziale $[T_{1},T_{2}]$ określamy według wzoru:

x_{SK}={\sqrt {{\frac {1}{T_{2}-T_{1}}}\int \limits _{T_{1}}^{T_{2}}[x(t)]^{2}\,dt}}.

Przykłady zastosowań

W matematyce

Średnia kwadratowa różnic wartości zmiennej i wartości oczekiwanej jest odchyleniem standardowym tej zmiennej (dla populacji skończonej):

\sigma ={\sqrt {\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}{n}}}

gdzie:

n

– liczebność populacji

x_{0}

– wartość oczekiwana zmiennej.

W rachunku błędów

Odchylenie standardowe jest miarą niepewności pomiarowej przy wielokrotnym pomiarze tej samej wielkości. Estymatorem wartości oczekiwanej jest wówczas wartość średnia. Aby średnia kwadratowa odchyleń od średniej mogła być średnim błędem kwadratowym, liczba pomiarów powinna być większa od 30.

W teorii kinetycznej gazów

Średnia prędkość kwadratowa cząsteczek gazu doskonałego w teorii kinetycznej gazów:

{\sqrt {\overline {V^{2}}}}={\sqrt {\frac {\sum \limits _{i}^{n}{V_{i}^{2}}}{n}}}

jest ściśle związana z temperaturą tego gazu. Dla gazu jednoatomowego zależność ta wyraża się wzorem:

{\sqrt {\overline {V^{2}}}}={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}

gdzie:

k

– stała Boltzmanna

T

– temperatura w kelwinach

m

– masa pojedynczej cząsteczki.

Wzór ten można wyprowadzić z rozkładu prędkości cząsteczek (rozkład Maxwella).

W teorii sygnałów

Wartość skuteczna natężenia $I_{SK}$ prądu przemiennego $i(t)$ jest taką wartością natężenia prądu stałego, która w ciągu czasu $T,$ równego okresowi prądu przemiennego, spowoduje ten sam efekt cieplny, co dany sygnał prądu przemiennego. Wartość ta jest średnią kwadratową tego sygnału: