Metoda siecznych

Przykład naiwnego zastosowania metody siecznych. Pierwsza iteracja – zwracająca punkt x₂ – przybliża do miejsca zerowego, jednak następna – zwracająca punkt x₃ – od niego oddala. To dlatego, że dla punktów x₁ i x₂ wartości funkcji mają ten sam znak, co nie gwarantuje miejsca zerowego między nimi.

Metoda siecznych, w literaturze polskojęzycznej czasem metoda cięciw – metoda numeryczna, służąca do rozwiązywania równania nieliniowego z jedną niewiadomą.

Metoda siecznych to algorytm interpolacji liniowej. Ma tę zaletę, że do użycia jej niepotrzebna jest znajomość pochodnej danej funkcji ani nawet założenie różniczkowalności.

Opis procedury

Wersja podstawowa

Polega ona na przyjęciu, że funkcja ciągła na dostatecznie małym odcinku w przybliżeniu zmienia się w sposób liniowy. Możemy wtedy na odcinku $\langle a,b\rangle$ krzywą $y=f(x)$ zastąpić sieczną. Za przybliżoną wartość pierwiastka przyjmujemy punkt przecięcia siecznej z osią OX.

Metodę siecznych dla funkcji $f(x),$ mającej pierwiastek w przedziale $\langle a,b\rangle$ można zapisać następującym wzorem rekurencyjnym:

${\begin{cases}x_{0}=a&\\x_{1}=b&\\x_{n+1}={\frac {f(x_{n})x_{n-1}-f(x_{n-1})x_{n}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}}\end{cases}}$

Aby metoda się powiodła, dla każdego n musi zachodzić $f(x_{n})f(x_{n-1})<0,$ gdyż tylko wtedy sieczna przechodząca przez punkty $(x_{n},f(x_{n}))$ i $(x_{n-1},f(x_{n-1}))$ przecina oś OX. Metoda ta nie zawsze jest zbieżna.

Modyfikacja

Metoda ta zapewnia zbieżność do pierwiastka dla dowolnej funkcji ciągłej $f(x)$ na odcinku $[a,b]$ takiej, że $f(a)f(b)<0.$

Polega ona na wyznaczaniu takich ciągów $a_{n}$ i $b_{n},$ takich, że $a_{n}>a_{n-1}>\dots >a,$ $b_{n}<b_{n-1}<\dots <b$ i dla każdego n $f(a_{n})f(b_{n})<0.$ Między $a_{n}$ i $b_{n}$ musi być pierwiastek funkcji, a przedziały $[a_{n},b_{n}]$ tworzą ciąg zstępujący. Zbieżność ciągów $a_{n}$ i $b_{n}$ do tej samej granicy będącej pierwiastkiem równania $f(x)=0$ zapewnia następująca reguła rekurencyjna:

${\begin{cases}a_{0}=a&\\b_{0}=b&\\\quad \ \ x={\frac {f(a_{n})b_{n}-f(b_{n})a_{n}}{f(a_{n})-f(b_{n-1})}}\\{\textrm {Jezeli}}\ \ f(x)f(a_{n})>0\ \ {\textrm {to}}\ \ a_{n+1}=x,b_{n+1}=b_{n}\\{\textrm {Jezeli}}\ \ f(x)f(b_{n})>0\ \ {\textrm {to}}\ \ a_{n+1}=a_{n},b_{n+1}=x\end{cases}}$

Polega ona na wyznaczeniu punktu przecięcia siecznej przechodzącej przez punkty $(a_{n},f(a_{n}))$ i $(b_{n},f(b_{n}))$ z osią OX i zastąpienia tym punktem jeden z końców przedziału, gdzie znajduje się pierwiastek.

Powiązane metody numeryczne

Do wyznaczania pierwiastków równania nieliniowego służą też:

• metoda bisekcji
• metoda stycznych (Newtona-Raphsona)
• odwrotna interpolacja kwadratowa
• regula falsi