Pierścień uporządkowany

Pierścieniem uporządkowanym – pierścień przemienny $R$ z określonym porządkiem liniowym $\leq$ spełniającym dla dowolnych $a,b,c\in R$ warunki

$a\leqslant b\implies a+c\leqslant b+c,$
$(0\leqslant a\land 0\leqslant b)\implies 0\leqslant ab.$

Niezerowy element $a\in R$ nazywany jest dodatnim (odpowiednio, ujemnym), gdy $0\leqslant a\ (a\leqslant 0).$ Wartością bezwzględną elementu $a\in R$ nazywany jest element

|a|={\begin{cases}a,&{\mbox{gdy }}0\leqslant a,\\-a,&{\mbox{w przeciwnym wypadku}},\end{cases}}

gdzie $-a$ oznacza element odwrotny do elementu $a$ względem dodawania.

Przykłady

Pierścieniami uporządkowanymi są: pierścień liczb całkowitych ze zwykłym porządkiem, pierścień liczb wymiernych i pierścień liczb rzeczywistych ze zwykłymi porządkami (dwa ostatnie przykłady są nawet ciałami uporządkowanymi).

Pierścienia uporządkowanego nie tworzą natomiast liczby zespolone.

Własności

W poniższych twierdzeniach przyjmujemy, że $R$ jest pierścieniem uporządkowanym.

Dla dowolnych $a,b,c\in R$ zachodzi:

(a\leqslant b\land 0\leqslant c)\implies a\cdot c\leqslant b\cdot c.

Dla dowolnych $a,b\in R$ spełniony jest warunek

|a\cdot b|=|a|\cdot |b|.

Nietrywialny pierścień uporządkowany (czyli taki, który ma więcej niż jeden element) ma nieskończenie wiele elementów.
Jeśli $a\in R,$ to albo $0<a,$ albo $0<-a,$ albo $a$ (gdzie przez $x<y$ rozumie się relację $x\leqslant y$ i $x\neq y$ ).
Pierścień uporządkowany $R$ nie posiada dzielników zera wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych elementów dodatnich $a,b\in R,$ dodatni jest również ich iloczyn $a\cdot b.$
W pierścieniu uporządkowanym żaden element ujemny nie jest kwadratem innego elementu.

Zobacz też