Przestrzeń Dowkera

Przestrzeń Dowkera – przestrzeń topologiczna, która jest normalna, ale nie jest przeliczalnie parazwarta (przestrzeń topologiczna X jest przeliczalnie parazwarta, gdy w każde jej przeliczalne pokrycie otwarte można wpisać pokrycie lokalnie skończone).

Charakteryzacja przestrzeni Dowkera

Dla przestrzeni normalnej $X$ ( $X$ jest również przestrzenią T₁) następujące warunki są równoważne:

$X$ jest przestrzenią Dowkera.
przestrzeń produktowa $X\times [0,1]$ nie jest normalna^[1].
$X$ nie jest przeliczalnie metazwarta.

Dowker postawił hipotezę iż przestrzenie Dowkera nie istnieją. W 1971, Mary Ellen Rudin skonstruowałą jednak przykład przestrzeni Dowkera^[2]. Przestrzeń skonstruowana przez Rudin jest mocy $\aleph _{\omega }^{\aleph _{0}}.$ Zoltán Balogh podał kolejny przykład^[3] przestrzeni Dowkera, tym razem mocy continuum. Używając teorii PCF, M. Kojman i S. Shelach wskazali^[4] podprzestrzeń przestrzeni Dowkera skonsturowanej przez Rudin, która sama jest przestrzenią Dowekera i jest mocy $\aleph _{\omega +1}.$

Przypisy

↑ C.H. Dowker, On countably paracompact spaces, Can. J. Math. 3 (1951), s. 219–224.
↑ M.E. Rudin, A normal space X for which X × I is not normal. Fundam. Math. 73 (1971), s. 179–186.
↑ Z. Balogh, A small Dowker space in ZFC, Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996) 2555-2560.
↑ M. Kojman, S. Szelach, A ZFC Dowker space in $\aleph _{\omega +1}{:}$ an application of PCF theory to topology, Proc. Amer. Math. Soc., 126 (1998), 2459-2465.

[1] C.H. Dowker, On countably paracompact spaces, Can. J. Math. 3 (1951), s. 219–224.

[2] M.E. Rudin, A normal space X for which X × I is not normal. Fundam. Math. 73 (1971), s. 179–186.

[3] Z. Balogh, A small Dowker space in ZFC, Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996) 2555-2560.

[4] M. Kojman, S. Szelach, A ZFC Dowker space in $\aleph _{\omega +1}{:}$ an application of PCF theory to topology, Proc. Amer. Math. Soc., 126 (1998), 2459-2465.

[1]

[2]

[3]

[4]