Rozszerzenie Galois

Rozszerzenie Galois – rozszerzenie algebraiczne $\mathbb {L}$ danego ciała $\mathbb {K}$ takie, że istnieje grupa automorfizmów ciała $\mathbb {L} ,$ ze względu na którą $\mathbb {K}$ jest ciałem elementów stałych.

Definicja

Rozszerzeniem Galois danego ciała $\mathbb {K}$ nazywa się takie rozszerzenie algebraiczne $\mathbb {L}$ ciała $\mathbb {K}$ takie, że istnieje grupa $\mathbb {G}$ automorfizmów ciała $\mathbb {L}$ taka, że: $\mathbb {K} =\mathbb {L} ^{\mathbb {G} }$, gdzie $\mathbb {L} ^{\mathbb {G} }:=\{k\in \mathbb {L} \colon \forall _{g\in \mathbb {G} }\ g(k)=k\}$.

Własności

Dane rozszerzenie algebraiczne ciała $\mathbb {K}$ jest rozszerzeniem Galois wtedy i tylko wtedy, gdy jest rozszerzeniem normalnym i rozdzielczym.

Dowód

„$\Longrightarrow$”

Sprawdźmy, że rozszerzenie Galois musi być normalne i rozdzielcze. Skoro jest to rozszerzenie Galois, to z definicji istnieje grupa $\mathbb {G}$ automorfizmów ciała $\mathbb {L} ,$ dla której $\mathbb {K}$ jest ciałem elementów stałych, tzn. $\mathbb {L^{G}} =\mathbb {K} .$ Ustalmy $a\in \mathbb {L}$ oraz nierozkładalny wielomian $f$ z pierścienia $\mathbb {K[x]}$ taki, że $f(a)=0.$ Udowodnimy następnie, że $f$ stanowi iloczyn czynników liniowych należących do $\mathbb {L} [x],$ ale nie do $\mathbb {K} [x].$ Weźmy dowolny endomorfizm $\varphi \in \mathbb {G}$ i zauważmy, że wielomian $f$ przyjmuje w punkcie $\varphi (a)$ wartość $0$ (jest tak, ponieważ $f(\varphi (a))=\varphi (f(a))=\varphi (0)=0$). Tak więc $\varphi (a)$ jest pierwiastkiem wielomianu $f,$ a zbiór $\{\varphi (a)\colon \varphi \in \mathbb {G} \}$ jest skończony. To znaczy, że dla danego $a$ istnieć może jedynie skończona liczba różnych $\varphi (a)$ pomimo dowolnie wybieranych endomorfizmów. Oznaczmy te elementy jako $\varphi _{1},\dots ,\varphi _{n}.$ Zauważmy, że dowolny automorfizm $\varphi \in \mathbb {G}$ przekształca dowolny zbiór skończony w siebie, w szczególności: $\{\varphi _{i}(a)\}_{i=1}^{n}=\{\varphi (\varphi _{i}(a))\}_{i=1}^{n}.$ Niech będzie dany wielomian $g(x)=\prod \limits _{j=1}^{n}(x-\varphi _{j}(a)),$ wtedy $\varphi (g(x))=\prod \limits _{j=1}^{n}(x-\varphi (\varphi _{j}(a))).$ Ponieważ wspomniane dwa zbiory są równe, to każdy z tych wielomianów składa się z dokładnie tych samych czynników (różniących się tylko kolejnością), a stąd wynika równość wielomianów: $\varphi (g)=g.$ Tak więc dowolnie wybrany automorfizm $\varphi$ nie zmienia wielomianu $g.$ Wobec tego współczynniki tego wielomianu należą do ciała $\mathbb {L^{G}} .$ Sam wielomian $g$ należy w takim razie do pierścienia $\mathbb {K} [x].$ Wybrano go tak, że ma on wyłącznie pierwiastki jednokrotne i to będące zarazem pierwiastkami $f.$ Wynika stąd, że wielomian $g$ dzieli wielomian $f.$ Nierozkładalny wielomian $f$ musi być więc równy iloczynowi wielomianu $g$ oraz pewnego niezerowego elementu ciała $\mathbb {K} .$ Stąd wnioskujemy, że $f$ stanowi iloczyn różnych wielomianów liniowych należących do pierścienia $\mathbb {L} [x]$.

„$\Longleftarrow$”

Udowodnimy, że rozszerzenie normalne i rozdzielcze jest rozszerzeniem Galois. Z założenia, dla $a\in \mathbb {L}$ wielomian $f\in \mathbb {K} [x],$ dla którego $a$ jest pierwiastkiem, stanowi iloczyn różnych wielomianów liniowych należących do pierścienia $\mathbb {L} [x].$ Niech $a\not \in \mathbb {K} .$ Wtedy rozpatrywany wielomian $f$ jest stopnia silnie większego od 1, wobec czego posiada on jeszcze jeden inny pierwiastek $b\in \mathbb {L} .$ Musi więc istnieć homomorfizm pomiędzy rozszerzeniami $\varphi \colon \mathbb {K} (a)\to \mathbb {K} (b)$ przekształcający $a$ w $b,$ będący $\mathbb {K}$-izomorfizmem. Da się go rozszerzyć do $\mathbb {K}$-izomorfizmu $\psi \colon {\mbox{alg}}(\mathbb {K} )\rightarrow {\mbox{alg}}(\mathbb {K} ),$ gdzie ${\mbox{alg}}(\mathbb {K} )$ jest zbiorem wszystkich elementów algebraicznych względem ciała $\mathbb {K} .$ Izomorfizm ten przekształca ciało $\mathbb {L}$ na siebie (stanowi jego $\mathbb {K}$-automorfizm), a restrykcja $\psi {\big |}_{\mathbb {L} }\in {\mbox{Gal}}\mathbb {(L/K)} .$ W dalszym ciągu przekształca on $a$ w różne od niego $b.$ Wynika stąd, że dowolny element należący do $\mathbb {L} ,$ ale nie do $\mathbb {K}$ nie jest zachowywany przez wszystkie automorfizmy grupy ${\mbox{Gal}}\mathbb {(L/K)} .$ Inaczej mówiąc, $\mathbb {L} ^{\operatorname {Gal} \mathbb {(L/K)} }=\mathbb {K} .$ q.e.d.

Wynika stąd także, że w przypadku ciała doskonałego jego rozszerzenie jest normalne wtedy i tylko wtedy, gdy jest rozszerzeniem Galois. Z kolei dane ciało posiada swoje skończone rozszerzenie Galois wtedy i tylko wtedy, gdy rozszerzenie to będzie ciałem rozkładu dla pewnego wielomianu o współczynnikach z wyjściowego ciała, posiadającego pierwiastki jednokrotne. Ten ostatni wniosek wynika z tego, że rozszerzenia o podanych właściwościach muszą być skończone, normalne i rozdzielcze.

Bibliografia

• Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna.