Sekwenty Gentzena

Sekwenty Gentzena – jeden z najprostszych sposobów automatycznego dowodzenia twierdzeń rachunku zdań. Został opracowany przez Gerharda Gentzena w 1934 roku. Znany jest również pod nazwą system LK od niemieckiej nazwy Logischer Kalkül. Jest to jednocześnie jedna z formalizacji rachunku predykatów.

Każdy sekwent składa się ze zbioru {a_i} poprzedników i zbioru {b_j} następników, połączonych zależnością (którą mamy udowodnić) – jeśli wszystkie a_i są prawdziwe, to któreś z b_i jest prawdziwe.

Dowodzenie zaczyna się od jednego sekwentu z pustym zbiorem poprzedników i zbiorem następników składających się z twierdzenia, które zamierzamy udowodnić.

Wykonujemy następujące kroki:

• złożone zależności, takie jak implikacja, równoważność itd. zastępujemy alternatywami, koniunkcjami i negacjami;
• następnik będący alternatywą (M ∨ N) zastępujemy dwoma następnikami: M, N;
• poprzednik będący koniunkcją (M ∧ N) zastępujemy dwoma poprzednikami: M, N;
• następnik będący negacją (¬ M) zastępujemy poprzednikiem bez negacji: M;
• poprzednik będący negacją (¬ M) zastępujemy następnikiem bez negacji: M;
• jeśli kilka następników jest identycznych można zachować tylko jeden z nich;
• jeśli kilka poprzedników jest identycznych można zachować tylko jeden z nich;
• jeśli następnik jest koniunkcją (M ∧ N) zamieniamy sekwent na dwa, o tych samych poprzednikach, i następniku (M ∧ N) zastąpionym odpowiednio przez M i N;
• analogicznie, jeśli poprzednik jest alternatywą (M ∨ N) zamieniamy sekwent na dwa, o tych samych następnikach, i poprzedniku (M ∨ N) zastąpionym odpowiednio przez M i N;
• jeśli wszystkie następniki i poprzedniki sekwentu są zmiennymi zdaniowymi i żadna z nich nie występuje jednocześnie w następniku i poprzedniku, twierdzenie jest fałszywe;
• jeśli wszystkie następniki i poprzedniki sekwentu są zmiennymi zdaniowymi i chociaż jedna z nich występuje jednocześnie w następniku i poprzedniku, sekwent jest poprawny i przystępujemy do analizy kolejnego sekwentu; jeśli był to już ostatni sekwent twierdzenie jest prawdziwe.

Przykład działania:

• {}, {p ∨ ¬ p} – rozbijamy alternatywę w następniku
• {}, {p, ¬ p} – przenosimy negację na drugą stronę
• {p}, {p} – zmienna p się powtarza
• prawda

W logice pierwszego rzędu można pokazać zupełność i poprawność systemu Gentzena.

Linki zewnętrzne

• Program do obliczania sekwentów. decybel.cba.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2018-04-21)].