Sprzężenie zespolone
Sprzężenie zespolone – jednoargumentowe działanie algebraiczne określone na liczbach zespolonych polegające na zmianie znaku części urojonej danej liczby zespolonej.
Przykładowo
Definicja
[edytuj | edytuj kod]Sprzężeniem liczby zespolonej w postaci algebraicznej gdzie jest liczba nazywana liczbą sprzężoną do [1] i oznaczana zwykle symbolem W fizyce oraz naukach technicznych stosuje się również zapis
W postaci biegunowej sprzężenie liczby dane jest przez Można to łatwo sprawdzić za pomocą wzoru Eulera.
Nazwę sprzężenia zespolonego prawdopodobnie wprowadził Augustin Louis Cauchy – używał jej (fr. conjuguées) w swoim Kursie analizy z 1821 roku[2].
Uwagi
[edytuj | edytuj kod]Liczby zespolone przedstawiane są często jako punkty płaszczyzny w układzie współrzędnych kartezjańskich (por. diagram). Oś -ów zawiera liczby rzeczywiste, zaś oś -ów zawiera liczby urojone. Przy takiej interpretacji sprzężenie zespolone odpowiada symetrii względem osi
Pary liczb sprzężonych są warte uwagi, ponieważ jednostka urojona jest jakościowo różna od swojej odwrotności addytywnej i multiplikatywnej jako że obie z nich spełniają definicję jednostki urojonej: dla Dlatego w najbardziej „naturalnych” okolicznościach, jeżeli liczba zespolona daje rozwiązanie problemu, to daje je również jej sprzężenie, jak to jest w przypadku rozwiązań zespolonych równania kwadratowego o współczynnikach rzeczywistych.
Sprzężenie zespolone jest jedynym oprócz identyczności ciągłym automorfizmem ciała liczb zespolonych, a przy tym działanie to jest inwolucją, czyli Zachowuje ono moduł oraz zmienia argument liczby zespolonej na przeciwny.
Własności
[edytuj | edytuj kod]Niech będą liczbami zespolonymi, a będzie liczbą rzeczywistą. Wówczas
- liczbą sprzężoną do liczby rzeczywistej jest ta sama liczba:
- liczbą sprzężoną do sumy liczb jest suma liczb sprzężonych:
- liczbą sprzężoną do iloczynu liczb jest iloczyn liczb sprzężonych:
- moduł liczby sprzężonej jest taki sam, jak moduł danej liczby:
- jeden z argumentów liczby sprzężonej jest taki sam, jak argument danej liczby, ale z przeciwnym znakiem:
- suma danej liczby zespolonej oraz liczby do niej sprzężonej jest liczbą rzeczywistą i wynosi:
- iloczyn danej liczby i liczby do niej sprzężonej jest nieujemną liczbą rzeczywistą i wynosi:
- stąd też
- jeżeli czyli jest liczbą urojoną, to liczba sprzężona jest liczbą przeciwną do danej:
- jeśli jest pierwiastkiem danego wielomianu rzeczywistego, to też nim jest.
Macierz sprzężona
[edytuj | edytuj kod]Macierz sprzężona (trywialnie) do danej to macierz, której każdy element jest liczbą sprzężoną do odpowiadającego mu elementu macierzy zespolonej:
Znacznie jednak ważniejszą operacją jest sprzężenie hermitowskie macierzy, tzn. sprzężenie złożone z transpozycją.
Przykład
[edytuj | edytuj kod]Uogólnienia
[edytuj | edytuj kod]Sprzężenie można uogólnić na kwaterniony: sprzężeniem kwaternionu jest kwaternion Można także uogólnić je na przypadek dowolnego innego ciała kwadratowego, np. w ciele można określić je wzorem a także na liczby dualne. Sprzęgać można również dwumiany. Sprzężenie we wszystkich podanych przypadkach ma dwie ważne własności: jest automorfizmem oraz inwolucją.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ liczby zespolone sprzężone, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-10] .
- ↑ Jeff Miller, Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (C) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive [dostęp 2021-10-31].