Warunki Dirichleta

Warunki Dirichleta – warunki wystarczające, aby dowolna funkcja rzeczywista, określona na przedziale otwartym $(a,b)$ posiadała reprezentację w postaci szeregu Fouriera oraz posiadała transformatę Fouriera. Warunki te były sformułowane przez niemieckiego matematyka P.G.J. Dirichleta^[1].

Warunki Dirichleta

Przypuśćmy, że funkcja rzeczywista $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ jest określona na skończonym przedziale $(a,b)$ i spełnia dwa warunki (zwane warunkami Dirichleta)^[1]:

$f(t)$ jest przedziałami monotoniczna w przedziale $(a,b)$ - tzn. jest w nim ograniczona i można podzielić ten przedział na skończoną liczbę podprzedziałów, wewnątrz których funkcja jest monotoniczna (czyli funkcja ta ma skończoną liczbę maksimów lokalnych i minimów lokalnych),
$f(t)$ jest ciągła w przedziale $(a,b)$ z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, przy czym w każdym punkcie nieciągłości spełniony jest warunek

$f(t_{0})={\tfrac {1}{2}}[f(t_{0+})+f(t_{0-})$

Funkcja określona w przedziale domkniętym $\langle a,b\rangle$ i spełniająca w jego wnętrzu pierwszy i drugi warunek Dirichleta jest całkowalna w sensie Riemanna w tym przedziale. Funkcje spełniające pierwszy i drugi warunek Dirichleta w każdym przedziale skończonym na osi liczbowej są całkowalne w każdym przedziale skończonym. Przy założeniu dodatkowo zbieżności całki niewłaściwej

\int _{-\infty }^{+\infty }|f(t)|\;dt<+\infty

wynika stąd ponadto tzw. bezwzględna całkowalność w przedziale $(-\infty ,\infty )$ , tzn. bezwzględna zbieżność całki

\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;dt<+\infty

Uwagi:

Całkowalność funkcji, gwarantowana przez spełnienie warunków Dirichleta, jest istotnym wymogiem w obliczaniu szeregów Fouriera, bowiem współczynniki rozwinięcia w szereg Fouriera są wyrażone za pomocą całek. Ten sam wymóg dotyczy obliczania transformaty Fouriera z danej funkcji.
Dla funkcji okresowej (co typowo dotyczy obliczeń szeregów Fouriera) warunki Dirichleta wystarczy zbadać na dowolnym przedziale $(a,a+T)$ o długości równej okresowi funkcji $T$ .
Warunki Dirichleta są to warunki wystarczające do tego, by dla funkcji, która je spełnia, istniał szereg Fouriera i całka Fouriera. Jednak nie są to warunki konieczne - istnieje klasa funkcji, które nie spełniają warunków Dirichleta, a mimo to mają szereg i całkę Fouriera - są to jednak funkcje niespotykane w praktycznych zastosowaniach.