Série divergente

Em matemática, uma série divergente é uma série que não converge. Tais séries são somas infinitas de parcelas que obedecem a uma regra e/ou Termo Geral. Se uma série converge, os termos individuais da série devem tender a zero. Portanto, toda série na qual os termos individuais não tendem a zero, diverge. O exemplo mais simples de uma série divergente cujos termos aproximam-se de zero é a série harmônica

$1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}.$

A divergência da série harmônica foi demonstrada de forma distinta pelo matemático medieval Nicole d'Oresme.

Às vezes é possível atribuir um valor às séries divergentes utilizando o método da soma. Por exemplo, a soma de Cesàro atribui à série divergente de Grandi

$1-1+1-1+\cdots$

o valor ½. Em física, existe uma ampla variedade de métodos da soma.

Propriedades dos métodos da soma

Se A é uma função que atribui-se um valor a uma seqüência, é conveniente que possua certas propriedades se é que pretende-se que seja um método da soma útil.

1. Regularidade. Um método é regular se, toda vez que a seqüência s converge a x, A(s) = x.
2. Linearidade. A é linear se é funcionalmente linear sobre seqüências convergentes, de forma tal que A(r + s) = A(r) + A(s) e A(ks) = k.A(s), para k um escalar (real ou complexo)
3. Estabilidade. Se s é uma seqüência que começa em s₀ e s′ é a seqüência obtida ao subtrair o primeiro valor, pelo que começa em s₁, então A(s) é definida se e somente se A(s′) é definida, e A(s) = A(s′ ).

A terceira condição é menos importante, e existem alguns métodos destacados, por exemplo, o método de soma de Borel, que não a satisfaz.

Uma propriedade desejável entre dois métodos da soma A e B é que possua consistência: A e B são consistentes se para toda seqüência s a que ambos atribuem um valor, A(s) = B(s). Se dois métodos são consistentes, e um soma mais séries que o outro, pode-se dizer que aquele que soma mais séries é mais potente.

De toda forma é conveniente notar que existem métodos da soma poderosos que todavia, não são nem lineares, nem regulares, por exemplo transformações de seqüências não-lineares como as transformações de seqüências tipo Levin e as aproximações de Padé.

Média abeliana

Supondo que λ_n é uma seqüência estritamente crescente que tende ao ∞, e λ₀ ≥ 0. E sendo a_n=s_n+1–s_n uma série infinita, cuja seqüência correspondente é s. E supondo que

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\exp(-\lambda _{n}x)$

converge para todos os números reais positivos x. Então a média abeliana A_λ define-se como

$A_{\lambda }(s)=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}f(x).$

Uma série deste tipo é chamada série generalizada de Dirichlet; no âmbito da física, este método é conhecido como regularização do heat-kernel.

As médias abelianas são regulares, lineares, e estaveis, mas nem sempre resultam ser consistentes entre si. Contudo, existem alguns casos especiais de médias abelianas que são métodos da suma muito importantes.

Soma de Abel

Se λ_n = n, então obtém-se o método da Soma de Abel. Onde

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\exp(-nx)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},$

com z = exp(-x). E portanto, o limite de f(x) quando x tende a 0 desde os reais positivos é o limite da série de potências para f(z) quando z tende a 1 negativo desde os reais positivos, e a soma de Abel A(s) define-se como

$A(s)=\lim _{z\rightarrow 1^{-}}a_{n}z^{n}.$

A soma de Abel, em parte, é interessante porque é consistente com a soma de Cesàro: se C_k(s) = a para todo k positivo, então A(s) = a. Portanto a soma de Abel é regular, linear, estável, e consistente com a soma de Cesàro. A soma de Abel é mais potente que a soma de Cesàro, por exemplo, 1 − 2 + 3 − 4 + · · · tem uma soma de Abel mas não uma soma de Cesáro.

Referências

• Divergent Series by Godfrey Harold Hardy, Oxford, Clarendon Press, 1949.
• Extrapolation Methods. Theory and Practice by C. Brezinski and M. Redivo Zaglia, North-Holland, 1991.
• Padé Approximants by G. A. Baker, Jr. and P. Graves-Morris, Cambridge U.P., 1996.