Câmp vectorial dat de vectori de forma (−y , x ) În matematică un câmp vectorial , sau un câmp de vectori este o construcție din calculul vectorial care asociază un vector fiecărui punct dintr-un spațiu euclidian .
Câmpurile vectoriale sunt adesea utilizate în fizică pentru a modela, de exemplu, viteza și direcția de curgere a unui fluid prin spațiu, sau modulul și direcția unei forțe , cum ar fi forța magnetică sau gravitațională , și variațiile acestora de la punct la punct.
Funcția vectorială:
v
→
(
P
)
=
v
→
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle {\vec {v}}(P)={\vec {v}}(x,y,z)}
(
1.1
)
{\displaystyle (1.1)}
definită pentru punct
P
(
x
,
y
,
z
)
∈
D
{\displaystyle P(x,y,z)\in D}
D
{\displaystyle D}
spațiului euclidian
E
3
{\displaystyle {\mathcal {E}}_{3}}
câmp vectorial .
O curbă
(
Γ
)
{\displaystyle (\Gamma )}
D
{\displaystyle D}
linie de câmp pentru câmpul vectorial
v
→
(
P
)
{\displaystyle {\vec {v}}(P)}
P
{\displaystyle P}
v
→
(
P
)
{\displaystyle {\vec {v}}(P)}
tangent curbei.
Liniile de câmp sunt soluțiile ecuației diferențale vectoriale:
v
→
×
d
r
→
=
0
{\displaystyle {\vec {v}}\times d{\vec {r}}=0}
(
2.1
)
{\displaystyle (2.1)}
sau ale sistemului diferențial:
d
x
v
1
(
x
,
y
,
z
)
=
d
y
v
2
(
x
,
y
,
z
)
=
d
z
v
3
(
x
,
y
,
z
)
.
{\displaystyle {\frac {dx}{v_{1}(x,y,z)}}={\frac {dy}{v_{2}(x,y,z)}}={\frac {dz}{v_{3}(x,y,z)}}.}
(
2.2
)
{\displaystyle (2.2)}
O suprafață generată de liniile de câmp e numește suprafață de câmp .
Dacă
F
1
(
x
,
y
,
z
)
=
C
1
,
F
2
(
x
,
y
,
z
)
=
C
2
,
(
C
1
,
C
2
=
c
o
n
s
t
)
,
{\displaystyle F_{1}(x,y,z)=C_{1},\;F_{2}(x,y,z)=C_{2},\;(C_{1},C_{2}=const),}
Φ
(
F
1
,
F
2
)
=
0
{\displaystyle \Phi (F_{1},F_{2})=0}
(
2.3
)
{\displaystyle (2.3)}
este o suprafață de câmp.
Expresia:
d
i
v
v
→
=
i
→
⋅
∂
v
→
∂
x
+
j
→
⋅
∂
v
→
∂
y
+
k
→
⋅
∂
v
→
∂
z
{\displaystyle div\;{\vec {v}}={\vec {i}}\cdot {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial x}}+{\vec {j}}\cdot {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial y}}+{\vec {k}}\cdot {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial z}}}
(
3.1
)
{\displaystyle (3.1)}
se numește divergența
v
→
(
P
)
.
{\displaystyle {\vec {v}}(P).}
Notând
v
1
,
v
2
,
v
3
{\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}}
v
→
(
P
)
,
{\displaystyle {\vec {v}}(P),}
d
i
v
v
→
=
∂
v
1
∂
x
+
∂
v
2
∂
y
+
∂
v
3
∂
z
.
{\displaystyle div\;{\vec {v}}={\frac {\partial v_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{3}}{\partial z}}.}
(
3.2
)
{\displaystyle (3.2)}
Vectorul de componente:
∂
v
3
∂
y
−
∂
v
2
∂
z
,
∂
v
1
∂
z
−
∂
v
3
∂
x
,
∂
v
2
∂
x
−
∂
v
1
∂
y
{\displaystyle {\frac {\partial v_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial v_{2}}{\partial z}},\;{\frac {\partial v_{1}}{\partial z}}-{\frac {\partial v_{3}}{\partial x}},\;{\frac {\partial v_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{1}}{\partial y}}}
(
3.3
)
{\displaystyle (3.3)}
se numește rotorul
v
→
(
P
)
{\displaystyle {\vec {v}}(P)}
r
o
t
v
→
.
{\displaystyle rot\;{\vec {v}}.}
Există relația:
r
o
t
v
→
=
|
i
→
j
→
k
→
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
v
1
v
2
v
3
|
{\displaystyle rot\;{\vec {v}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}}
(
3.4
)
{\displaystyle (3.4)}
și
r
o
t
v
→
=
∇
×
v
→
,
{\displaystyle rot\;{\vec {v}}=\nabla \times {\vec {v}},}
(
3.5
)
{\displaystyle (3.5)}
unde
∇
{\displaystyle \nabla }
operatorul nabla .
g
r
a
d
(
φ
+
ψ
)
=
g
r
a
d
φ
+
g
r
a
d
ψ
,
{\displaystyle grad(\varphi +\psi )=grad\;\varphi +grad\;\psi ,}
(
4.1
)
{\displaystyle (4.1)}
g
r
a
d
(
φ
⋅
ψ
)
=
φ
⋅
g
r
a
d
ψ
+
ψ
⋅
g
r
a
d
φ
,
{\displaystyle grad(\varphi \cdot \psi )=\varphi \cdot grad\;\psi +\psi \cdot grad\;\varphi ,}
(
4.2
)
{\displaystyle (4.2)}
d
i
v
(
u
→
+
v
→
)
=
d
i
v
u
→
+
d
i
v
v
→
,
{\displaystyle div({\vec {u}}+{\vec {v}})=div\;{\vec {u}}+div\;{\vec {v}},}
(
4.3
)
{\displaystyle (4.3)}
d
i
v
(
φ
⋅
v
→
)
=
φ
⋅
d
i
v
v
→
+
v
→
⋅
g
r
a
d
φ
,
{\displaystyle div(\varphi \cdot {\vec {v}})=\varphi \cdot div\;{\vec {v}}+{\vec {v}}\cdot grad\;\varphi ,}
(
4.4
)
{\displaystyle (4.4)}
d
i
v
(
u
→
×
v
→
)
=
v
→
⋅
r
o
t
u
→
−
u
→
⋅
r
o
t
v
→
,
{\displaystyle div({\vec {u}}\times {\vec {v}})={\vec {v}}\cdot rot\;{\vec {u}}-{\vec {u}}\cdot rot\;{\vec {v}},}
(
4.5
)
{\displaystyle (4.5)}
r
o
t
(
u
→
+
v
→
)
=
r
o
t
u
→
+
r
o
t
v
→
,
{\displaystyle rot({\vec {u}}+{\vec {v}})=rot\;{\vec {u}}+rot\;{\vec {v}},}
(
4.6
)
{\displaystyle (4.6)}
r
o
t
(
φ
⋅
v
→
)
=
φ
⋅
r
o
t
v
→
−
v
→
×
g
r
a
d
φ
,
{\displaystyle rot(\varphi \cdot {\vec {v}})=\varphi \cdot rot\;{\vec {v}}-{\vec {v}}\times grad\;\varphi ,}
(
4.7
)
{\displaystyle (4.7)}
g
r
a
d
(
u
→
⋅
v
→
)
=
v
→
×
r
o
t
u
→
+
u
→
×
r
o
t
v
→
+
(
v
→
⋅
∇
→
)
⋅
u
→
+
(
u
→
⋅
∇
→
)
⋅
v
→
,
{\displaystyle grad({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})={\vec {v}}\times rot\;{\vec {u}}+{\vec {u}}\times rot\;{\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }})\cdot {\vec {u}}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})\cdot {\vec {v}},}
(
4.8
)
{\displaystyle (4.8)}
r
o
t
(
u
→
×
v
→
)
=
u
→
⋅
d
i
v
v
→
−
v
→
⋅
d
i
v
u
→
+
(
v
→
⋅
∇
→
)
⋅
u
→
−
(
u
→
⋅
∇
→
)
⋅
v
→
,
{\displaystyle rot({\vec {u}}\times {\vec {v}})={\vec {u}}\cdot div\;{\vec {v}}-{\vec {v}}\cdot div\;{\vec {u}}+({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }})\cdot {\vec {u}}-({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})\cdot {\vec {v}},}
(
4.9
)
{\displaystyle (4.9)}
d
i
v
(
g
r
a
d
φ
)
=
∂
2
φ
∂
x
2
+
∂
2
φ
∂
y
2
+
∂
2
φ
∂
z
2
=
Δ
φ
,
{\displaystyle div(grad\;\varphi )={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}=\Delta \varphi ,}
(
4.10
)
{\displaystyle (4.10)}
r
o
t
(
g
r
a
d
φ
)
=
0
,
{\displaystyle rot(grad\;\varphi )=0,}
(
4.11
)
{\displaystyle (4.11)}
d
i
v
(
r
o
t
v
→
)
=
0
,
{\displaystyle div(rot\;{\vec {v}})=0,}
(
4.12
)
{\displaystyle (4.12)}
r
o
t
(
r
o
t
v
→
)
=
g
r
a
d
(
d
i
v
v
→
)
−
Δ
v
→
.
{\displaystyle rot(rot\;{\vec {v}})=grad(div\;{\vec {v}})-\Delta {\vec {v}}.}
(
4.13
)
{\displaystyle (4.13)}
Exemplu
Să se determine liniile de câmp ale câmpului vectorial definit prin vectorul:
v
→
=
x
y
2
⋅
i
→
+
x
2
y
⋅
j
→
+
z
(
x
2
+
y
2
)
⋅
k
→
{\displaystyle {\vec {v}}=xy^{2}\cdot {\vec {i}}+x^{2}y\cdot {\vec {j}}+z(x^{2}+y^{2})\cdot {\vec {k}}}
(
5.1
)
{\displaystyle (5.1)}
și suprafața de câmp care trece prin curba:
x
=
2
y
,
z
=
a
.
{\displaystyle x=2y,\;z=a.}
(
5.2
)
{\displaystyle (5.2)}
Rezolvare .
Sistemul de ecuații diferențiale al liniilor de câmp este:
d
x
x
y
2
=
d
y
y
x
2
=
d
z
z
(
x
2
+
y
2
)
{\displaystyle {\frac {dx}{xy^{2}}}={\frac {dy}{yx^{2}}}={\frac {dz}{z(x^{2}+y^{2})}}}
(
5.3
)
{\displaystyle (5.3)}
și se reduce la:
{
x
⋅
d
x
−
y
⋅
d
y
=
0
d
x
x
+
d
y
y
=
d
z
z
{\displaystyle {\begin{cases}x\cdot dx-y\cdot dy=0\\{\frac {dx}{x}}+{\frac {dy}{y}}={\frac {dz}{z}}\end{cases}}}
(
5.4
)
{\displaystyle (5.4)}
Prin integrare se obțin ecuațiile liniilor de câmp:
x
2
−
y
2
=
C
1
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=C_{1}}
z
x
y
=
C
2
.
{\displaystyle {\frac {z}{xy}}=C_{2}.}
(
5.5
)
{\displaystyle (5.5)}
Se pune condiția ca o linie de câmp să intersecteze curba (5.2).
Din prima ecuație de la (5.5), folosind ecuația
x
=
2
y
,
{\displaystyle x=2y,}
y
2
=
C
1
3
,
{\displaystyle y^{2}={\frac {C_{1}}{3}},}
y
2
=
a
2
C
2
.
{\displaystyle y^{2}={\frac {a}{2C_{2}}}.}
Din relațiile
y
2
=
C
1
3
{\displaystyle y^{2}={\frac {C_{1}}{3}}}
y
2
=
a
2
C
2
{\displaystyle y^{2}={\frac {a}{2C_{2}}}}
2
C
1
C
2
=
3
a
.
{\displaystyle 2C_{1}C_{2}=3a.}
Suprafața de câmp se obține prin eliminarea parametrilor
C
1
{\displaystyle C_{1}}
C
2
{\displaystyle C_{2}}
2
z
(
x
2
−
y
2
)
−
3
a
x
y
=
0.
{\displaystyle 2z(x^{2}-y^{2})-3axy=0.}
(
5.6
)
{\displaystyle (5.6)}
