Câmp scalar

Acest articol se referă la o noțiune din calculul vectorial. Pentru alte sensuri, vedeți Câmp (dezambiguizare).

În analiza matematică, un câmp scalar este o funcție de mai multe variabile care asociază fiecărui punct al unui domeniu dintr-un spațiu euclidian un număr real, deci este o funcție scalară:

\varphi :D\to \mathbb {R} ,\;\varphi (P)=\varphi (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}),\;(\forall )P(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\in D,

unde $D\subseteq E^{n}.$

Suprafață de nivel

Dându-se un punct fix $P_{0},$ suprafața de ecuație:

\varphi (P)=\varphi (P_{0})

se numește suprafață de nivel a câmpului $\varphi (P),$ atașată punctului $P_{0}.$

Exemplu

Se consideră câmpul scalar tridimensional definit prin $\varphi ({\vec {r}})={\vec {a}}\cdot {\vec {r}},$ unde ${\vec {a}}$ este un vector unitar constant, iar ${\vec {r}}$ este vectorul de poziție al punctului curent din spațiu.

Atunci suprafețele de nivel ale câmpului sunt date de ecuația:

{\vec {a}}\cdot {\vec {r}}=C,

unde C este o constantă. Aceste suprafețe sunt plane perpendiculare pe ${\vec {a}}.$

De exemplu, suprafața de nivel care trece prin punctul $A(1,2,3)$ este planul perpendicular pe ${\vec {a}}$ și care are ecuația:

{\vec {a}}\cdot {\vec {r}}={\vec {a}}\cdot {\vec {b}},

unde

{\vec {b}}={\vec {i}}+2{\vec {j}}+3{\vec {k}}.

Derivata după o direcție

Fie o curbă $(\Gamma )$ care trece printr-un punct $P_{0}.$ Dacă există limita:

\lim _{P\to P_{0}}{\frac {\varphi (P)-\varphi (P_{0})}{l_{P_{0}P}}}=\left({\frac {d\varphi }{d{\vec {t}}}}\right)_{P_{0}}

valoarea acesteia se numește derivata câmpului scalar după direcția de versor ${\vec {t}}$ în punctul $P_{0},$

unde ${\vec {t}}$ este versorul tangentei la curbă, în punctul P, iar $l_{P_{0}P}$ este abscisa curbilinie a punctului $P$ față de $P_{0}.$

Notând cu ${\vec {n}}$ versorul normalei la suprafața de nivel care trece prin $P_{0}$ și cu $\theta$ unghiul dintre ${\vec {t}}$ și ${\vec {n}},$ există relația:

\left({\frac {d\varphi }{d{\vec {t}}}}\right)_{P_{0}}=\left({\frac {d\varphi }{d{\vec {n}}}}\cdot \cos \theta .\right)_{P_{0}}

Astfel, într-un spațiu tridimensional:

\left({\frac {d\varphi }{d{\vec {n}}}}\right)_{P_{0}}={\sqrt {\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}\right)^{2}}}.

Dacă $\varphi _{h}(P),\;(h=1,2,\cdots ,n),$ sunt funcții diferențiabile și la fel și funcția $F(\varphi _{1},\varphi _{2},\cdots ,\varphi _{n}),$ atunci:

{\frac {dF}{d{\vec {t}}}}=\sum _{h=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial \varphi _{h}}}\cdot {\frac {\partial \varphi _{h}}{\partial {\vec {t}}}}.

Exemplu

Pentru calculul derivatei lui $\Phi =x^{2}yz+4xz^{2}$ în punctul $A(1,2,-1)$ și după direcția $2{\vec {i}}-{\vec {j}}-2{\vec {k}}$ se fac calculele:

{\overrightarrow {\nabla }}\Phi ={\overrightarrow {\nabla }}(x^{2}yz+4xz^{2})=(2xyz+4z^{2}){\vec {i}}+x^{2}z{\vec {j}}+(x^{2}y+8xz){\vec {k}},

{\overrightarrow {\nabla }}\Phi _{A}=8{\vec {i}}-{\vec {j}}-10{\vec {k}}.

Vectorul unitar în direcția $2{\vec {i}}-{\vec {j}}-2{\vec {k}}$ este:

{\vec {a}}={\frac {2{\vec {i}}-{\vec {j}}-2{\vec {k}}}{\sqrt {2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}}={\frac {2}{3}}{\vec {i}}-{\frac {1}{3}}{\vec {j}}-{\frac {2}{3}}{\vec {k}}.

Deci:

{\overrightarrow {\nabla }}\Phi \cdot {\vec {a}}=(8{\vec {i}}-{\vec {j}}-10{\vec {k}})\cdot \left({\frac {2}{3}}{\vec {i}}-{\frac {1}{3}}{\vec {j}}-{\frac {2}{3}}{\vec {k}}\right)={\frac {37}{3}}.

Gradientul unui câmp scalar

Dacă $\alpha ,\beta ,\gamma$ sunt componentele versorului ${\vec {t}},$ în cazul unui spațiu tridimensional:

\left({\frac {d\varphi }{d{\vec {t}}}}\right)_{P_{0}}=\alpha {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}+\beta {\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}+\gamma {\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}.

Vectorul de componente ${\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}$ se numește gradientul câmpului scalar diferențiabil $\varphi (P)$ în punctul $P_{0}\in D$ și se notează $(grad\;\varphi )_{P_{0}}.$

Există relațiile:

grad\;\varphi ={\frac {d\varphi }{d{\vec {n}}}}\cdot {\vec {n}}

grad\;F(\varphi _{1},\varphi _{2},\cdots ,\varphi _{n})=\sum _{h=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial \varphi _{h}}}\cdot grad\;\varphi _{h}.

Operatorul diferențial vectorial:

{\vec {\nabla }}=={\vec {i}}{\partial  \over \partial x}+{\vec {j}}{\partial  \over \partial y}+{\vec {k}}{\partial  \over \partial z}

se numește nabla sau operatorul Hamilton.

Deci:

grad\;\varphi ={\vec {\nabla }}\varphi ,\;\;{\frac {d\varphi }{d{\vec {t}}}}=\left({\vec {t}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\right)\cdot \varphi .

Derivata în raport cu un vector

Fie ${\vec {u}}$ un vector de mărime u și versor ${\vec {u}}_{0},$ adică ${\vec {u}}=u\cdot {\vec {u}}_{0}.$ Dacă se notează ${\vec {u}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}=u\left({\vec {u}}_{0}\cdot {\dot {\nabla }}\right)$ atunci expresia: