Уровенный эллипсоид: различия между версиями

[непроверенная версия]

[отпатрулированная версия]

Содержимое удалено Содержимое добавлено

Линейный

Текущая версия от 10:25, 19 января 2022

Уровенный эллипсоид — одна из приближённых форм Земли, используемых в геодезии: эллипсоид вращения, поверхность которого совпадает с уровенной поверхностью создаваемого им поля^[1].

Понятие об уровенном эллипсоиде

Фигура и гравитационное поле Земли тесно взаимосвязаны. При определении потенциала силы тяжести Земли могут возникнуть трудности, обуславливаемые сложной фигурой Земли и особенностями распределения плотностей масс.
Эту задачу можно упростить, если представить гравитационное поле Земли в виде двух полей: нормальное и аномальное поля. Их следует рассматривать отдельно.
Обычно в геодезии используется нормальная Земля в виде идеальной планеты. В этом случае она имеет форму эллипсоида вращения

${\frac {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}{a_{0}^{2}}}+{\frac {z_{0}^{2}}{b_{0}^{2}}}=1$ ,

где $x_{0},y_{0},z_{0}$ — координаты точки на поверхности эллипсоида; $a_{0},b_{0}$ — большая и малая полуоси этого эллипсоида.

Эта поверхность является уровенной поверхностью нормального потенциала силы тяжести. Это означает, что на поверхности эллипсоида выполняется условие

$U=U_{0}$ ,

где $U_{0}$ — постоянная.

Такой эллипсоид и называется уровенным^[2]. Использование поля силы тяжести уровенного эллипсоида в качестве нормального поля удобно в геодезии, так как в этом случае одна и та же поверхность будет отсчётной при решении как геометрических, так и физических задач.

Для того, чтобы уровенный эллипсоид можно было назвать близким к реальной Земле, должны выполняться следующие условия^[3]^[4]:

Центр уровенного эллипсоида должен совпадать с центром масс Земли;
Главная ось инерции, являющаяся его осью вращения, должна совпадать с осью вращения Земли;
Угловые скорости вращения эллипсоида и реальной Земли должны быть одинаковыми, то есть $\omega _{0}=\omega$
Массы Нормальной и реальной Земли должны быть равны, то есть $GM_{0}=GM$
Зональные гармонические коэффициенты второй степени Нормальной и реальной Земли должны быть равны, то есть $J_{2}^{0}=J_{2}$
Нормальный потенциал на поверхности Нормальной Земли $U_{0}$ должен быть равен действительному потенциалу на среднем уровне моря $W_{0}$ , то есть $U_{0}=W_{0}$ .

Примечания

↑ Огородова, 2010, с. 102.
↑ Огородова, 2006, с. 73.
↑ Огородова, 2006, с. 99—105.
↑ Пеллинен, 1978, с. 134—136.

Литература

Огородова Л. В. Нормальное поле и определение аномального потенциала (текст лекций по геодезической гравиметрии и теории фигуры Земли): Учебное пособие.. — М.: Изд-во МИИГАиК, 2010. — 105 с. — ISBN 978-5-91188-025-5.
Огородова Л. В. Высшая геодезия. Часть III. Теоретическая геодезия: Учебник для вузов.. — М.: Геодезкартиздат, 2006. — 384 с. — ISBN 5-86066-076-6.
Пеллинен Л.П. Высшая геодезия (Теоретическая геодезия).. — М.: Недра, 1978. — 264 с.

[_8133d46e27117f2d-1] Огородова, 2010, с. 102.

[_61508d54f7723e0d-2] Огородова, 2006, с. 73.

[_c172752f45bea877-3] Огородова, 2006, с. 99—105.

[_20d67705342be0e9-4] Пеллинен, 1978, с. 134—136.

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+'''Уровенный эллипсоид''' — одна из приближённых форм Земли, используемых в геодезии: [[эллипсоид]] вращения, поверхность которого совпадает с [[Уровенная поверхность|уровенной поверхностью]] создаваемого им поля{{sfn|Огородова|с=102|2010}}.
-{{В инкубаторе}}
-'''Уровенный эллипсоид''' — это [[Эллипсоид|эллипсоид]], поверхность которого совпадает с [[Уровенная поверхность|уровенной поверхностью]] создаваемого им поля{{sfn|Огородова|с=102|2010}}.
 == Понятие об уровенном эллипсоиде ==
-Фигура и [[Гравитационное поле Земли|гравитационное поле Земли]] тесно взаимосвязаны. При определении потенциала [[Сила тяжести|силы тяжести]] Земли могут возникнуть трудности, обуславливаемые сложной фигурой Земли и особенностями распределения плотностей масс.
+Фигура и [[гравитационное поле Земли]] тесно взаимосвязаны. При определении потенциала [[Сила тяжести|силы тяжести]] Земли могут возникнуть трудности, обуславливаемые сложной фигурой Земли и особенностями распределения плотностей масс.
 <br>
 Эту задачу можно упростить, если представить гравитационное поле Земли в виде двух полей: нормальное и аномальное поля. Их следует рассматривать отдельно.
@@ Строка 12: / Строка 10: @@
 <math> \frac{x_0^2 + y_0^2}{a_0^2} + \frac{z_0^2}{b_0^2} = 1</math>,
-где <math> x_0, y_0, z_0 </math> — координаты точки на поверхности эллипсоида; <math> a_0, b_0 </math> — большая и малая полуоси этого эллипсоида.
+где <math> x_0, y_0, z_0 </math> — координаты точки на поверхности эллипсоида; <math> a_0, b_0 </math> — большая и малая полуоси этого эллипсоида.
 Эта поверхность является уровенной поверхностью нормального потенциала силы тяжести. Это означает, что на поверхности эллипсоида выполняется условие
@@ Строка 18: / Строка 16: @@
 <math> U = U_0 </math>,
-где <math> U_0 </math> — постоянная.
+где <math> U_0 </math> — постоянная.
-Такой эллипсоид и называется уровенным{{sfn|Огородова|с=73|2006}}. Использование поля силы тяжести уровенного эллипсоида в качестве нормального поля удобно в геодезии, так как в этом случае одна и та же поверхность будет отсчетной при решении как геометрических, так и физических задач.
+Такой эллипсоид и называется уровенным{{sfn|Огородова|с=73|2006}}. Использование поля силы тяжести уровенного эллипсоида в качестве нормального поля удобно в геодезии, так как в этом случае одна и та же поверхность будет отсчётной при решении как геометрических, так и физических задач.
-Для того, чтобы уровенный эллипсоид можно было назвать близким к реальной Земле, должны выполняться следующие условия{{sfn|Огородова|с=99—105|2006}}{{sfn|Пеллинен|с=134—136|1978}}:<br>
+Для того, чтобы уровенный эллипсоид можно было назвать близким к реальной Земле, должны выполняться следующие условия{{sfn|Огородова|с=99—105|2006}}{{sfn|Пеллинен|с=134—136|1978}}:
-* Центр уровенного эллипсоида должен совпадать с центром масс Земли;<br>
+* Центр уровенного эллипсоида должен совпадать с центром масс Земли;
-* Главная ось инерции, являющаяся его осью вращения, должна совпадать с осью вращения Земли;<br>
+* Главная ось инерции, являющаяся его осью вращения, должна совпадать с осью вращения Земли;
-* Угловые скорости вращения эллипсоида и реальной Земли должны быть одинаковыми, то есть <math>\omega_0=\omega</math><br>
+* Угловые скорости вращения эллипсоида и реальной Земли должны быть одинаковыми, то есть <math>\omega_0=\omega</math>
-* Массы Нормальной и реальной Земли должны быть равны, то есть <math>GM_0=GM</math><br>
+* Массы Нормальной и реальной Земли должны быть равны, то есть <math>GM_0=GM</math>
-* Зональные гармонические коэффициенты второй степени Нормальной и реальной Земли должны быть равны, то есть <math>J_2^0=J_2</math><br>
+* Зональные гармонические коэффициенты второй степени Нормальной и реальной Земли должны быть равны, то есть <math>J_2^0=J_2</math>
 * Нормальный потенциал на поверхности Нормальной Земли <math>U_0</math> должен быть равен действительному потенциалу на среднем уровне моря <math>W_0</math>, то есть <math>U_0=W_0</math>.
+== Примечания ==
-== Специальная система координат сжатого эллипсоида вращения ==
-Потенциал уровенного эллипсоида находится из решения [[Краевая задача|краевой задачи]]. Удобнее все решать ее в специальных эллипсоидально-гармонических координатах <math> b, u, L, </math> которые связаны с прямоугольными координатами <math> x, y, z, </math> следующими соотношениями:
-<math> x=\sqrt {b^2+E^2}\cos u\cos L </math><br>
-<math> y=\sqrt {b^2+E^2}\cos u\sin L </math><br>
-<math> z=b\cos u </math>,<br>
-где <math> b </math> — малая полуось софокусного отсчетному эллипсоида, проходящего через определяемую точку, <math> u </math> — приведенная широта, <math> L </math> — долгота, <math> E </math> — линейный эксцентриситет.<br>
-Коэффициенты Ламе этой системы координат:<br>
-<math> h_1=\frac{\sqrt {b^2 + E^2\sin^2 u}}{a} </math><br>
-<math> h_2=\sqrt {b^2 + E^2\sin^2 u} </math><br>
-<math> h_3=\sqrt {b^2 + E^2\cos u} </math><br>
-== Внешний потенциал уровенного эллипсоида ==
-Потенциал уровенного эллипсоида находят из решения краевой задачи{{sfn|Огородова|с=74—78|2006}}. Эта задача заключается в определении функции, гармонической в некоторой области, по тем условиям, которым она удовлетворяет на границе области своего существования.<br>
-Для начала рассмотрим [[Центробежная сила|центробежный]] потенциал. В [[Прямоугольная система координат|прямоугольных]] геоцентрических координатах он будет иметь вид<br>
-<math>Q=\frac{\omega^2}{2}(x^2+y^2)</math><br>
-В [[Сферическая система координат|сферических]] координатах он примет вид<br>
-<math>Q=\frac{\omega^2}{2}r^2\cos^2 \Phi </math><br>
-Введем в это выражение [[Многочлены Лежандра|полиномы Лежандра]] <math>P_n(\sin \Phi)</math>. Так как <math>\cos^2 \Phi = 1-\sin^2 \Phi</math>, это выражение должно содержать в себе только полиномы нулевой и второй степеней. Учитывая, что <math>P_0 (\sin \Phi) = 1</math> и <math>P_2 (\sin \Phi)=3/2\sin^2 \Phi-1/2</math>, то получим следующее выражение для центробежного потенциала<br>
-<math>Q=\frac{\omega^2}{3}r^2[1-P_2(\sin \Phi)]</math><br>
-Для эллипсоидальных координат оно примет вид<br>
-<math>\frac{\omega^2}{2}(b^2+E^2)\cos^2 u</math><br>
-Центробежный потенциал не удовлетворяет [[Уравнение Лапласа|уравнению Лапласа]], а так же он не регулярен на бесконечности. Аналогичными свойствами обладает и потенциал силы тяжести. Поэтому его нельзя определить непосредственно из решения краевой задачи.
-Решить эту задачу возможно с помощью теоремы Стокса<ref>Если известны форма внешней уровенной поверхности и масса, заключенная внутри этой поверхности, а также угловая скорость вращения, то внешнее гравитационное поле определяется вне зависимости от распределения масс внутри поверхности.</ref>. Также известно, что уровенная поверхность является поверхностью эллипсоида вращения.<br>
-Из потенциала силы тяжести необходимо исключить центробежный потенциал, тем самым перейти к определению гармонической функции — потенциала притяжения эллипсоида <math>V^\text{э}</math>. Так как на поверхности эллипсоида потенциал <math>U</math> постоянен и равен <math>U_0</math>, то потенциал притяжения должен удовлетворять уравнению<br>
-<math>V_0=U_0-Q_0</math>,<br>
-или более подробно<br>
-<math>V_0=U_0-\frac{\omega^2}{2}(x^2+y^2)=U_0-\frac{\omega^2}{2}r^2\cos^2 \Phi</math>,<br>
-где <math>r</math> — радиус-вектор поверхности эллипсоида.<br>
-Из этого выражения видно, что потенциал <math>V_0</math> на уровенном эллипсоиде изменяется в зависимости от широты. Это уравнение является краевым условием для потенциала притяжения. Эта задача является частным случаем [[Задача Дирихле|задачи Дирихле]], когда краевая поверхность является уровенной. Иногда ее называют задачей Стокса.<br>
-Если находить решение в системе координат <math>b, u</math>, то краевое условие будет иметь вид<br>
-<math>V_0=U_0-\frac{\omega^2}{3}(b_0^2+E^2)+\frac{\omega^2}{3}P_2(\sin u)</math><br>
-Краевое условие такого вида содержит в себе полиномы Лежандра нулевого и второго порядков, поэтому это выражение можно записать как<br>
-<math>V^\text{э}=A_{00}Q_0\biggr(i\frac{b}{E}\biggl)+A_{20}Q_2\biggr(i\frac{b}{E}\biggl)P_2(\sin u)</math>,<br>
-где <math>Q_0\biggr(i\frac{b}{E}\biggl)=-\arctan\frac{E}{b},Q_2\biggr(i\frac{b}{E}\biggl)=iq</math> — функции Лежандра второго рода,<br>
-<math>q=\frac{1}{2}\left [\left (3\frac{b^2}{E^2}+1\right)\arctan \frac{E}{b}-3\frac{b}{E} \right]</math>.<br>
-<math>A_{00}, A_{20}</math> — неизвестные коэффициенты.<br>
-Чтобы найти <math>A_{00}</math> необходимо найти предел произведения <math>bV^\text{э}</math> при <math>b\rightarrow\infty</math>.<br>
-Воспользовавшись разложениями <br>
-<math>\arctan \frac{E}{b}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}\bigg(\frac{E}{b}\bigg)^{2n+1}</math>,<br>
-<math>q=2\sum_{n=0}^\infty \frac{n(-1)^{n+1}}{(2n+1)(2n+3)}\bigg(\frac{E}{b}\bigg)^{2n+1}</math>,<br>
-получим<br>
-<math>\lim_{b \to \infty}bQ_2\bigg(i\frac{b}{E}\bigg)=0,\lim_{b \to \infty}bQ_0\bigg(i\frac{b}{E}\bigg)=-iE </math>,<br>
-поэтому<br>
-<math>\lim_{b \to \infty}bV^\text{э}=-iEA_{00}</math>,<br>
-в итоге имеем<br>
-<math>-iA_{00}=\frac{GM}{E}</math>.<br>
-Для нахождения <math>A_{20}</math> понадобится краевое условие. На поверхности эллипсоида потенциал притяжения имеет вид<br>
-<math>V^\text{э}=A_{00}Q_0\biggr(i\frac{b_0}{E}\biggl)+A_{20}Q_2\biggr(i\frac{b_0}{E}\biggl)P_2(\sin u)</math>,<br>
-с учетом полинома Лежандра находим<br>
-<math>A_{20}=\frac{\omega^2}{3}\frac{b_0^2+E^2}{Q_2\biggr(i\frac{b_0}{E}\biggl)}</math>.<br>
-Используя полученные значения коэффициентов получим следующее выражение<br>
-<math>V^\text{э}\frac{GM}{E}\arctan \frac{E}{b}+\frac{\omega^2}{3}(b_0^2+E^2)\frac{q}{q_0}P_2(\sin u)</math>,<br>
-где <math>q_0</math> — значение функции <math>q</math> при <math>b=b_0</math>.<br>
-При <math>q=q_o</math> на поверхности эллипсоида потенциал притяжения определяется следующим уравнением<br>
-<math>V_0=\frac{GM}{E}\arctan \frac{E}{b_0}+\frac{\omega^2}{3}(b_0^2+E^2)P_2(\sin u)</math>.<br>
-Если к этому выражению добавить центробежный потенциал, то таким образом мы получим внешний потенциал силы тяжести уровенного эллипсоида<br>
-<math>U=\frac{GM}{E}\arctan \frac{E}{b}+\frac{\omega^2}{3}(b^2+E^2)+\left\{ {\frac{\omega^2}{3}(b_0^2+E^2)\frac{q}{q_0}-\frac{\omega^2}{3}(b^2+E^2)} \right\}P_2(\sin u)</math>.<br>
-<math>GM, b_0, E, \omega</math> — постоянные, которые необходимы для определения силы тяжести уровенного эллипсоида. Постоянная <math>q_0</math> является функцией от <math>b_0</math> и <math>E</math>.<br>
-Потенциал силы тяжести на поверхности эллипсоида при <math>b=b_0</math><br>
-<math>U_0=\frac{GM}{E}\arctan \frac{E}{b_0}+\frac{\omega^2}{3}(b_0^2+E^2)</math><br>
-В случае, если используется другой эллипсоид, на котором <math>b\ne b_0</math>, то потенциал будет зависеть от широты <math>u</math>.
-== Сила тяжести на поверхности уровенного эллипсоида ==
-Для того чтобы найти силу тяжести <math>\gamma_0</math> на эллипсоиде, необходимо найти производную потенциала <math>U</math> по нормали <math>n</math> к уровенной поверхности эллипсоида{{sfn|Огородова|с=83—85|2006}}<br>
-<math>\gamma_0=-\frac{\partial U}{\partial n}\bigg|_{b=b_0}</math><br>
-В специальной системе координат <math> b, u, L, </math> элемент нормали к эллипсоиду имеет вид <math> dn=h_1db </math>. Используя <math> h_1 </math>, можно записать<br>
-<math>\gamma_0=-\frac{1}{h_1}\frac{\partial U}{\partial b}\bigg|_{b=b_0}=\frac{{a_0}}\sqrt {b_0^2 + E^2\sin^2 u}\frac{\partial U}{\partial b}\Bigg|_{b=b_0}</math><br>
-После дифференцирования внешнего потенциала силы тяжести получим<br>
-<math>\gamma_0=\frac{1}\sqrt {b_0^2 + E^2\sin^2 u}\Bigg(\frac{GM}{a_0}-\frac{2}{3}\omega^2a_0b_0+\frac{4}{3}\omega^2a_0E\frac{1-\frac{b_0}{E}\arctan \frac{E}{b_0}}{(1+3\frac{b_0^2}{E^2})\arctan \frac{E}{b_0}-3\frac{b_0}{E}}\Bigg)</math><br>
-При <math>u=\pi/2</math> получим значение силы тяжести на полюсе, а при <math>u=0</math> — на экваторе уровенного эллипсоида.<br>
-Это выражение можно привести к более упрощенному виду<br>
-<math>\gamma_0=\frac{\gamma_ea_0\cos^2 B+\gamma_pb_0sin^2 B}\sqrt {a_0^2\cos^2 B+b_0^2\sin^2 B}</math><br>
-Это формула Сомильяны. С её помощью можно вычислить значение нормальной силы тяжести в любой точке на поверхности эллипсоида, зная геодезическую широту <math>B</math>. Иначе формулу Сомильяны записывают в виде<br>
-<math>\gamma_0=\gamma_e\frac {1+k+\sin^2 B}\sqrt{1-e^2\sin^2 B}</math>,<br>
-где<br>
-<math>k=\frac {b_0\gamma_p-a_0\gamma_e}{a_0\gamma_e}</math>.
-== Примечания ==
-<!-- Смотрите в [[Википедия:Сноски]] примеры использования тэгов <ref> </ref> -->
 {{примечания}}
 == Литература ==
 * {{книга
- | автор           = Огородова Л. В.
+| автор           = Огородова Л. В.
- | заглавие      = Нормальное поле и определение аномального потенциала (текст лекций по геодезической гравиметрии и теории фигуры Земли): Учебное пособие.
+| заглавие      = Нормальное поле и определение аномального потенциала (текст лекций по геодезической гравиметрии и теории фигуры Земли): Учебное пособие.
- | место          = М.
+| место          = М.
- | издательство  = Изд-во МИИГАиК
+| издательство  = Изд-во МИИГАиК
- | год           = 2010
+| год           = 2010
- | страниц    = 105
+| страниц    = 105
- | isbn = 978-5-91188-025-5
+| isbn = 978-5-91188-025-5
- | ref             = Огородова
+| ref             = Огородова
 }}
 * {{книга
- | автор           = Огородова Л. В.
+| автор           = Огородова Л. В.
- | заглавие      =  Высшая геодезия. Часть III. Теоретическая геодезия: Учебник для вузов.
+| заглавие      =  Высшая геодезия. Часть III. Теоретическая геодезия: Учебник для вузов.
- | место          = М.
+| место          = М.
- | издательство  = Геодезкартиздат
+| издательство  = Геодезкартиздат
- | год           = 2006
+| год           = 2006
- | страниц    = 384
+| страниц    = 384
- | isbn = 5-86066-076-6
+| isbn = 5-86066-076-6
- | ref             = Огородова
+| ref             = Огородова
 }}
 * {{книга
- | автор           = Пеллинен Л.П.
+| автор           = Пеллинен Л.П.
- | заглавие      =  Высшая геодезия (Теоретическая геодезия).
+| заглавие      =  Высшая геодезия (Теоретическая геодезия).
- | место          = М.
+| место          = М.
- | издательство  = Недра
+| издательство  = Недра
- | год           = 1978
+| год           = 1978
- | страниц    = 264
+| страниц    = 264
- | isbn =
+| isbn =
- | ref             = Пеллинен
+| ref             = Пеллинен
 }}
-[[:Категория:Геодезия]] [[:Категория:Гравиметрия]]
+[[Категория:Геодезия]]
+[[Категория:Гравиметрия]]

Уровенный эллипсоид: различия между версиями

Текущая версия от 10:25, 19 января 2022

Понятие об уровенном эллипсоиде

Примечания

Литература

Навигация

Поиск