Уровенный эллипсоид

Уровенный эллипсоид — это эллипсоид, поверхность которого совпадает с уровенной поверхностью создаваемого им поля.

Понятие об уровенном эллипсоиде

Фигура и гравитационное поле Земли тесно взаимосвязаны. При определении потенциала силы тяжести Земли могут возникнуть трудности, обуславливаемые сложной фигурой Земли и особенностями распределения плотностей масс.
Эту задачу можно упростить, если представить гравитационное поле Земли в виде двух полей: нормальное и аномальное поля. Их следует рассматривать отдельно.
Обычно в геодезии используется нормальная Земля в виде идеальной планеты. В этом случае она имеет форму эллипсоида вращения

${\frac {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}{a_{0}^{2}}}+{\frac {z_{0}^{2}}{b_{0}^{2}}}=1$,

где $x_{0},y_{0},z_{0}$ — координаты точки на поверхности эллипсоида; $a_{0},b_{0}$ — большая и малая полуоси этого эллипсоида.

Эта поверхность является уровенной поверхностью нормального потенциала силы тяжести. Это означает, что на поверхности эллипсоида выполняется условие

$U=U_{0}$,

где $U_{0}$ — постоянная.

Такой эллипсоид и называется уровенным. Использование поля силы тяжести уровенного эллипсоида в качестве нормального поля удобно в геодезии, так как в этом случае одна и та же поверхность будет отсчетной при решении как геометрических, так и физических задач.

Для того, чтобы уровенный эллипсоид можно было назвать близким к реальной Земле, должны выполняться следующие условия:

• Центр уровенного эллипсоида должен совпадать с центром масс Земли;
  
• Главная ось инерции, являющаяся его осью вращения, должна совпадать с осью вращения Земли;
  
• Угловые скорости вращения эллипсоида и реальной Земли должны быть одинаковыми, то есть $\omega _{0}=\omega$
  
• Массы Нормальной и реальной Земли должны быть равны, то есть $GM_{0}=GM$
  
• Зональные гармонические коэффициенты второй степени Нормальной и реальной Земли должны быть равны, то есть $J_{2}^{0}=J_{2}$
  
• Нормальный потенциал на поверхности Нормальной Земли $U_{0}$ должен быть равен действительному потенциалу на среднем уровне моря $W_{0}$, то есть $U_{0}=W_{0}$.

Специальная система координат сжатого эллипсоида вращения

Потенциал уровенного эллипсоида находится из решения краевой задачи. Удобнее все решать ее в специальных эллипсоидально-гармонических координатах $b,u,L,$ которые связаны с прямоугольными координатами $x,y,z,$ через следующие соотношения:

$x={\sqrt {b^{2}+E^{2}}}\cos u\cos L$
$y={\sqrt {b^{2}+E^{2}}}\cos u\sin L$
$z=b\cos u$,
где $b$ — малая полуось софокусного отсчетному эллипсоида, проходящего через определяемую точку, $u$ — приведенная широта, $L$ — долгота, $E$ — линейный эксцентриситет.
Коэффициенты Ламе этой системы координат:
$h_{1}={\frac {\sqrt {b^{2}+E^{2}\sin ^{2}u}}{a}}$
$h_{2}={\sqrt {b^{2}+E^{2}\sin ^{2}u}}$
$h_{3}={\sqrt {b^{2}+E^{2}\cos u}}$

Внешний потенциал уровенного эллипсоида

Потенциал уровенного эллипсоида находят из решения краевой задачи. Эта задача заключается в определении функции, гармонической в некоторой области, по тем условиям, которым она удовлетворяет на границе области своего существования.
Для начала рассмотрим центробежный потенциал. В прямоугольных геоцентрических координатах он будет иметь вид
$Q={\frac {\omega ^{2}}{2}}(x^{2}+y^{2})$
В сферических координатах он примет вид
$Q={\frac {\omega ^{2}}{2}}r^{2}\cos ^{2}\Phi$
Введем в это выражение полиномы Лежандра $P_{n}(\sin \Phi )$. Так как $\cos ^{2}\Phi =1-\sin ^{2}\Phi$, это выражение должно содержать в себе только полиномы нулевой и второй степеней. Учитывая, что $P_{0}(\sin \Phi )=1$ и $P_{2}(\sin \Phi )=3/2\sin ^{2}\Phi -1/2$. то получим следующее выражение для центробежного потенциала
$Q={\frac {\omega ^{2}}{3}}r^{2}[1-P_{2}(\sin \Phi )]$
Для эллипсоидальных координат оно примет вид
${\frac {\omega ^{2}}{2}}(b^{2}+E^{2})\cos ^{2}u$
Центробежный потенциал не удовлетворяет уравнению Лапласа, а так же он не регулярен на бесконечности. Аналогичными свойствами обладает и потенциал силы тяжести. Поэтому его нельзя определить непосредственно из решения краевой задачи. Решить эту задачу возможно с помощью теоремы Стокса. Известно, что уровенная поверхность является поверхностью эллипсоида вращения.
Из потенциала силы тяжести необходимо исключить центробежный потенциал, тем самым перейти к определению гармонической функции — потенциала притяжения эллипсоида $V^{\text{э}}$. Так как на поверхности эллипсоида потенциал $U$ постоянен и равен $U_{0}$, то потенциал притяжения должен удовлетворять уравнению
$V_{0}=U_{0}-Q_{0}$,
или более подробно
$V_{0}=U_{0}-{\frac {\omega ^{2}}{2}}(x^{2}+y^{2})=U_{0}-{\frac {\omega ^{2}}{2}}r^{2}\cos ^{2}\Phi$,
где $r$ — радиус-вектор поверхности эллипсоида. Из этого выражения видно, что потенциал $V_{0}$ на уровенном эллипсоиде не изменяется в зависимости от широты. Это уравнение является краевым условием для потенциала притяжения.
Теперь найдем решение в системе координат $b,u$. Тогда краевое условие будет иметь вид
$V_{0}=U_{0}-{\frac {\omega ^{2}}{3}}(b_{0}^{2}+E^{2})+{\frac {\omega ^{2}}{3}}P_{2}(\sin u)$
Краевое условие такого вида содержит в себе полиномы Лежандра нулевого и второго порядков, поэтому это выражение можно записать как
$V^{\text{э}}=A_{00}Q_{0}{\biggr (}i{\frac {b}{E}}{\biggl )}+A_{20}Q_{2}{\biggr (}i{\frac {b}{E}}{\biggl )}P_{2}(\sin u)$,
где $Q_{0}{\biggr (}i{\frac {b}{E}}{\biggl )}=-\arctan {\frac {E}{b}},Q_{2}{\biggr (}i{\frac {b}{E}}{\biggl )}=iq$ — функции Лежандра второго рода
$q={\frac {1}{2}}\left[\left(3{\frac {b^{2}}{E^{2}}}+1\right)\arctan {\frac {E}{b}}-3{\frac {b}{E}}\right]$.
$A_{00},A_{20}$ — неизвестные коэффициенты.
Чтобы найти $A_{00}$ необходимо найти предел произведения $bV^{\text{э}}$ при $b\rightarrow \infty$.
Воспользовавшись разложениями
$\arctan {\frac {E}{b}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}{\bigg (}{\frac {E}{b}}{\bigg )}^{2n+1}$,
$q=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n(-1)^{n+1}}{(2n+1)(2n+3)}}{\bigg (}{\frac {E}{b}}{\bigg )}^{2n+1}$,
получим
$\lim _{b\to \infty }bQ_{2}{\bigg (}i{\frac {b}{E}}{\bigg )}=0,\lim _{b\to \infty }bQ_{0}{\bigg (}i{\frac {b}{E}}{\bigg )}=-iE$,
поэтому
$\lim _{b\to \infty }bV^{\text{э}}=-iEA_{00}$,
в итоге имеем
$-iA_{00}={\frac {GM}{E}}$.
Для нахождения $A_{20}$ понадобится краевое условие. На поверхности эллипсоида потенциал притяжения имеет вид
$V^{\text{э}}=A_{00}Q_{0}{\biggr (}i{\frac {b_{0}}{E}}{\biggl )}+A_{20}Q_{2}{\biggr (}i{\frac {b_{0}}{E}}{\biggl )}P_{2}(\sin u)$,
с учетом полинома Лежандра находим
$A_{20}={\frac {\omega ^{2}}{3}}{\frac {b_{0}^{2}+E^{2}}{Q_{2}{\biggr (}i{\frac {b_{0}}{E}}{\biggl )}}}$.
Используя полученные значения коэффициентов получим следующее выражение
$V^{\text{э}}{\frac {GM}{E}}\arctan {\frac {E}{b}}+{\frac {\omega ^{2}}{3}}(b_{0}^{2}+E^{2}){\frac {q}{q_{0}}}P_{2}(\sin u)$,
где $q_{0}$ — значение функции $q$ при $b=b_{0}$.
При $q=q_{o}$ на поверхности эллипсоида потенциал притяжения определяется следующим уравнением
$V_{0}={\frac {GM}{E}}\arctan {\frac {E}{b_{0}}}+{\frac {\omega ^{2}}{3}}(b_{0}^{2}+E^{2})P_{2}(\sin u)$.
Если к этому выражению добавить центробежный потенциал, то таким образом мы получим внешний потенциал силы тяжести уровенного эллипсоида
$U={\frac {GM}{E}}\arctan {\frac {E}{b}}+{\frac {\omega ^{2}}{3}}(b^{2}+E^{2})+\left\{{{\frac {\omega ^{2}}{3}}(b_{0}^{2}+E^{2}){\frac {q}{q_{0}}}-{\frac {\omega ^{2}}{3}}(b^{2}+E^{2})}\right\}P_{2}(\sin u)$.
$GM,b_{0},E,\omega$ — постоянные, которые необходимы для определения силы тяжести уровенного эллипсоида. Постоянная $q_{0}$ является функцией от $b_{0}$ и $E$.
Потенциал силы тяжести на поверхности эллипсоида при $b=b_{0}$
$U_{0}={\frac {GM}{E}}\arctan {\frac {E}{b_{0}}}+{\frac {\omega ^{2}}{3}}(b_{0}^{2}+E^{2})$
В случае, если используется другой эллипсоид, на котором $b\neq b_{0}$, то потенциал будет зависеть от широты $u$.

Сила тяжести на поверхности уровенного эллипсоида

Для того чтобы найти силу тяжести $\gamma _{0}$ на эллипсоиде, необходимо найти производную потенциала $U$ по нормали $n$ к уровенной поверхности эллипсоида
$\gamma _{0}=-{\frac {\partial U}{\partial n}}{\bigg |}_{b=b_{0}}$
В специальной системе координат $b,u,L,$ элемент нормали к эллипсоиду имеет вид $dn=h_{1}db$, поэтому используя $h_{1}$, можно записать
$\gamma _{0}=-{\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial U}{\partial b}}{\bigg |}_{b=b_{0}}={\frac {a_{0}}{\sqrt {b_{0}^{2}+E^{2}\sin ^{2}u}}}{\frac {\partial U}{\partial b}}{\Bigg |}_{b=b_{0}}$
После дифференцирования внешнего потенциала силы тяжести получим
$\gamma _{0}={\frac {1}{\sqrt {b_{0}^{2}+E^{2}\sin ^{2}u}}}{\Bigg (}{\frac {GM}{a_{0}}}-{\frac {2}{3}}\omega ^{2}a_{0}b_{0}+{\frac {4}{3}}\omega ^{2}a_{0}E{\frac {1-{\frac {b_{0}}{E}}\arctan {\frac {E}{b_{0}}}}{(1+3{\frac {b_{0}^{2}}{E^{2}}})\arctan {\frac {E}{b_{0}}}-3{\frac {b_{0}}{E}}}}{\Bigg )}$
При $u=\pi /2$ получим значение силы тяжести на полюсе, а при $u=0$ — на экваторе уровенного эллипсоида.
Это выражение можно привести к более упрощенному виду
$\gamma _{0}={\frac {\gamma _{e}a_{0}\cos ^{2}B+\gamma _{p}b_{0}sin^{2}B}{\sqrt {a_{0}^{2}\cos ^{2}B+b_{0}^{2}\sin ^{2}B}}}$
Это формула Сомильяны. С её помощью можно вычислить значение нормальной силы тяжести в любой точке на поверхности эллипсоида, зная геодезическую широту $B$. Часто формулу Сомильяны записывают в виде
$\gamma _{0}=\gamma _{e}{\frac {1+k+\sin ^{2}B}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}B}}}$,
где
$k={\frac {b_{0}\gamma _{p}-a_{0}\gamma _{e}}{a_{0}\gamma _{e}}}$.

Литература

• Огородова Л. В. Нормальное поле и определение аномального потенциала (текст лекций по геодезической гравиметрии и теории фигуры Земли): Учебное пособие. –М.: Изд-во МИИГАиК, 2010. –105 с.

• Огородова Л. В. Высшая геодезия. Часть III. Теоретическая геодезия: Учебник для вузов. –М.: Геодезкартиздат, 2006. –384 с.

• Гофман-Велленгоф Б. и Мориц Г. Физическая геодезия. –М.: Изд-во МИИГАиК, 2007, –426 с.

Категория:Геодезия Категория:Гравиметрия