Уровенный эллипсоид

Уровенный эллипсоид — это эллипсоид, поверхность которого совпадает с уровенной поверхностью создаваемого им поля.

Понятие об уровенном эллипсоиде

Фигура и гравитационное поле Земли тесно взаимосвязаны. При определении потенциала силы тяжести Земли могут возникнуть трудности, обуславливаемые сложной фигурой Земли и особенностями распределения плотностей масс.
Эту задачу можно упростить, если представить гравитационное поле Земли в виде двух полей: нормальное и аномальное поля. Их следует рассматривать отдельно.
Обычно в геодезии используется нормальная Земля в виде идеальной планеты. В этом случае она имеет форму эллипсоида вращения

${\frac {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}{a_{0}^{2}}}+{\frac {z_{0}^{2}}{b_{0}^{2}}}=1$,

где $x_{0},y_{0},z_{0}$ — координаты точки на поверхности эллипсоида; $a_{0},b_{0}$ — большая и малая полуоси этого эллипсоида.

Эта поверхность является уровенной поверхностью нормального потенциала силы тяжести. Это означает, что на поверхности эллипсоида выполняется условие

$U=U_{0}$,

где $U_{0}$ — постоянная.

Такой эллипсоид и называется уровенным. Использование поля силы тяжести уровенного эллипсоида в качестве нормального поля удобно в геодезии, так как в этом случае одна и та же поверхность будет отсчетной при решении как геометрических, так и физических задач.

Для того, чтобы уровенный эллипсоид можно было назвать близким к реальной Земле, должны выполняться следующие условия:

• Центр уровенного эллипсоида должен совпадать с центром масс Земли;
  
• Главная ось инерции, являющаяся его осью вращения, должна совпадать с осью вращения Земли;
  
• Угловые скорости вращения эллипсоида и реальной Земли должны быть одинаковыми, то есть $\omega _{0}=\omega$
  
• Массы Нормальной и реальной Земли должны быть равны, то есть $GM_{0}=GM$
  
• Зональные гармонические коэффициенты второй степени Нормальной и реальной Земли должны быть равны, то есть $J_{2}^{0}=J_{2}$
  
• Нормальный потенциал на поверхности Нормальной Земли $U_{0}$ должен быть равен действительному потенциалу на среднем уровне моря $W_{0}$, то есть $U_{0}=W_{0}$.

Специальная система координат сжатого эллипсоида вращения

Потенциал уровенного эллипсоида находится из решения краевой задачи. Удобнее все решать ее в специальных эллипсоидально-гармонических координатах $b,u,L,$ которые связаны с прямоугольными координатами $x,y,z,$ через следующие соотношения:

$x={\sqrt {b^{2}+E^{2}}}\cos u\cos L$
$y={\sqrt {b^{2}+E^{2}}}\cos u\sin L$
$z=b\cos u$,
где $b$ — малая полуось софокусного отсчетному эллипсоида, проходящего через определяемую точку, $u$ — приведенная широта, $L$ — долгота, $E$ — линейный эксцентриситет.
Коэффициенты Ламе этой системы координат:
$h_{1}={\frac {\sqrt {b^{2}+E^{2}\sin ^{2}u}}{a}}$
$h_{2}={\sqrt {b^{2}+E^{2}\sin ^{2}u}}$
$h_{3}={\sqrt {b^{2}+E^{2}\cos u}}$

Внешний потенциал уровенного эллипсоида

Потенциал уровенного эллипсоида находят из решения краевой задачи. Эта задача заключается в определении функции, гармонической в некоторой области, по тем условиям, которым она удовлетворяет на границе области своего существования.
Для начала рассмотрим центробежный потенциал. В прямоугольных геоцентрических координатах он будет иметь вид
$Q={\frac {\omega ^{2}}{2}}(x^{2}+y^{2})$
В сферических координатах он примет вид
$Q={\frac {\omega ^{2}}{2}}r^{2}\cos ^{2}\Phi$
Введем в это выражение полиномы Лежандра $P_{n}(\sin \Phi )$. Так как $\cos ^{2}\Phi =1-\sin ^{2}\Phi$, это выражение должно содержать в себе только полиномы нулевой и второй степеней. Учитывая, что $P_{0}(\sin \Phi )=1$ и $P_{2}(\sin \Phi )=3/2\sin ^{2}\Phi -1/2$, то получим следующее выражение для центробежного потенциала
$Q={\frac {\omega ^{2}}{3}}r^{2}[1-P_{2}(\sin \Phi )]$
Для эллипсоидальных координат оно примет вид
${\frac {\omega ^{2}}{2}}(b^{2}+E^{2})\cos ^{2}u$
Центробежный потенциал не удовлетворяет уравнению Лапласа, а так же он не регулярен на бесконечности. Аналогичными свойствами обладает и потенциал силы тяжести. Поэтому его нельзя определить непосредственно из решения краевой задачи. Решить эту задачу возможно с помощью теоремы Стокса. Также известно, что уровенная поверхность является поверхностью эллипсоида вращения.
Из потенциала силы тяжести необходимо исключить центробежный потенциал, тем самым перейти к определению гармонической функции — потенциала притяжения эллипсоида $V^{\text{э}}$. Так как на поверхности эллипсоида потенциал $U$ постоянен и равен $U_{0}$, то потенциал притяжения должен удовлетворять уравнению
$V_{0}=U_{0}-Q_{0}$,
или более подробно
$V_{0}=U_{0}-{\frac {\omega ^{2}}{2}}(x^{2}+y^{2})=U_{0}-{\frac {\omega ^{2}}{2}}r^{2}\cos ^{2}\Phi$,
где $r$ — радиус-вектор поверхности эллипсоида.
Из этого выражения видно, что потенциал $V_{0}$ на уровенном эллипсоиде не постоянен, то есть изменяется в зависимости от широты. Это уравнение является краевым условием для потенциала притяжения. Эта задача является частным случаем задачи Дирихле, когда краевая поверхность является уровенной. Иногда ее называют задачей Стокса.
Если находить решение в системе координат $b,u$, то краевое условие будет иметь вид
$V_{0}=U_{0}-{\frac {\omega ^{2}}{3}}(b_{0}^{2}+E^{2})+{\frac {\omega ^{2}}{3}}P_{2}(\sin u)$
Краевое условие такого вида содержит в себе полиномы Лежандра нулевого и второго порядков, поэтому это выражение можно записать как
$V^{\text{э}}=A_{00}Q_{0}{\biggr (}i{\frac {b}{E}}{\biggl )}+A_{20}Q_{2}{\biggr (}i{\frac {b}{E}}{\biggl )}P_{2}(\sin u)$,
где $Q_{0}{\biggr (}i{\frac {b}{E}}{\biggl )}=-\arctan {\frac {E}{b}},Q_{2}{\biggr (}i{\frac {b}{E}}{\biggl )}=iq$ — функции Лежандра второго рода,
$q={\frac {1}{2}}\left[\left(3{\frac {b^{2}}{E^{2}}}+1\right)\arctan {\frac {E}{b}}-3{\frac {b}{E}}\right]$.
$A_{00},A_{20}$ — неизвестные коэффициенты.
Чтобы найти $A_{00}$ необходимо найти предел произведения $bV^{\text{э}}$ при $b\rightarrow \infty$.
Воспользовавшись разложениями
$\arctan {\frac {E}{b}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}{\bigg (}{\frac {E}{b}}{\bigg )}^{2n+1}$,
$q=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n(-1)^{n+1}}{(2n+1)(2n+3)}}{\bigg (}{\frac {E}{b}}{\bigg )}^{2n+1}$,
получим
$\lim _{b\to \infty }bQ_{2}{\bigg (}i{\frac {b}{E}}{\bigg )}=0,\lim _{b\to \infty }bQ_{0}{\bigg (}i{\frac {b}{E}}{\bigg )}=-iE$,
поэтому
$\lim _{b\to \infty }bV^{\text{э}}=-iEA_{00}$,
в итоге имеем
$-iA_{00}={\frac {GM}{E}}$.
Для нахождения $A_{20}$ понадобится краевое условие. На поверхности эллипсоида потенциал притяжения имеет вид
$V^{\text{э}}=A_{00}Q_{0}{\biggr (}i{\frac {b_{0}}{E}}{\biggl )}+A_{20}Q_{2}{\biggr (}i{\frac {b_{0}}{E}}{\biggl )}P_{2}(\sin u)$,
с учетом полинома Лежандра находим
$A_{20}={\frac {\omega ^{2}}{3}}{\frac {b_{0}^{2}+E^{2}}{Q_{2}{\biggr (}i{\frac {b_{0}}{E}}{\biggl )}}}$.
Используя полученные значения коэффициентов получим следующее выражение
$V^{\text{э}}{\frac {GM}{E}}\arctan {\frac {E}{b}}+{\frac {\omega ^{2}}{3}}(b_{0}^{2}+E^{2}){\frac {q}{q_{0}}}P_{2}(\sin u)$,
где $q_{0}$ — значение функции $q$ при $b=b_{0}$.
При $q=q_{o}$ на поверхности эллипсоида потенциал притяжения определяется следующим уравнением
$V_{0}={\frac {GM}{E}}\arctan {\frac {E}{b_{0}}}+{\frac {\omega ^{2}}{3}}(b_{0}^{2}+E^{2})P_{2}(\sin u)$.
Если к этому выражению добавить центробежный потенциал, то таким образом мы получим внешний потенциал силы тяжести уровенного эллипсоида
$U={\frac {GM}{E}}\arctan {\frac {E}{b}}+{\frac {\omega ^{2}}{3}}(b^{2}+E^{2})+\left\{{{\frac {\omega ^{2}}{3}}(b_{0}^{2}+E^{2}){\frac {q}{q_{0}}}-{\frac {\omega ^{2}}{3}}(b^{2}+E^{2})}\right\}P_{2}(\sin u)$.
$GM,b_{0},E,\omega$ — постоянные, которые необходимы для определения силы тяжести уровенного эллипсоида. Постоянная $q_{0}$ является функцией от $b_{0}$ и $E$.
Потенциал силы тяжести на поверхности эллипсоида при $b=b_{0}$
$U_{0}={\frac {GM}{E}}\arctan {\frac {E}{b_{0}}}+{\frac {\omega ^{2}}{3}}(b_{0}^{2}+E^{2})$
В случае, если используется другой эллипсоид, на котором $b\neq b_{0}$, то потенциал будет зависеть от широты $u$.

Сила тяжести на поверхности уровенного эллипсоида

Для того чтобы найти силу тяжести $\gamma _{0}$ на эллипсоиде, необходимо найти производную потенциала $U$ по нормали $n$ к уровенной поверхности эллипсоида
$\gamma _{0}=-{\frac {\partial U}{\partial n}}{\bigg |}_{b=b_{0}}$
В специальной системе координат $b,u,L,$ элемент нормали к эллипсоиду имеет вид $dn=h_{1}db$, поэтому используя $h_{1}$, можно записать
$\gamma _{0}=-{\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial U}{\partial b}}{\bigg |}_{b=b_{0}}={\frac {a_{0}}{\sqrt {b_{0}^{2}+E^{2}\sin ^{2}u}}}{\frac {\partial U}{\partial b}}{\Bigg |}_{b=b_{0}}$
После дифференцирования внешнего потенциала силы тяжести получим
$\gamma _{0}={\frac {1}{\sqrt {b_{0}^{2}+E^{2}\sin ^{2}u}}}{\Bigg (}{\frac {GM}{a_{0}}}-{\frac {2}{3}}\omega ^{2}a_{0}b_{0}+{\frac {4}{3}}\omega ^{2}a_{0}E{\frac {1-{\frac {b_{0}}{E}}\arctan {\frac {E}{b_{0}}}}{(1+3{\frac {b_{0}^{2}}{E^{2}}})\arctan {\frac {E}{b_{0}}}-3{\frac {b_{0}}{E}}}}{\Bigg )}$
При $u=\pi /2$ получим значение силы тяжести на полюсе, а при $u=0$ — на экваторе уровенного эллипсоида.
Это выражение можно привести к более упрощенному виду
$\gamma _{0}={\frac {\gamma _{e}a_{0}\cos ^{2}B+\gamma _{p}b_{0}sin^{2}B}{\sqrt {a_{0}^{2}\cos ^{2}B+b_{0}^{2}\sin ^{2}B}}}$
Это формула Сомильяны. С её помощью можно вычислить значение нормальной силы тяжести в любой точке на поверхности эллипсоида, зная геодезическую широту $B$. Часто формулу Сомильяны записывают в виде
$\gamma _{0}=\gamma _{e}{\frac {1+k+\sin ^{2}B}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}B}}}$,
где
$k={\frac {b_{0}\gamma _{p}-a_{0}\gamma _{e}}{a_{0}\gamma _{e}}}$.

Литература

• Огородова Л. В. Нормальное поле и определение аномального потенциала (текст лекций по геодезической гравиметрии и теории фигуры Земли): Учебное пособие.. — М.: Изд-во МИИГАиК, 2010. — 105 с.

• Огородова Л. В. Высшая геодезия. Часть III. Теоретическая геодезия: Учебник для вузов.. — М.: Геодезкартиздат, 2006. — 384 с.

• Гофман-Велленгоф Б. и Мориц Г. Физическая геодезия.. — М.: Изд-во МИИГАиК, 2007. — 426 с.

Категория:Геодезия Категория:Гравиметрия