Сюръекция

Сюръективная функция.

Сюръекция (сюръективное отображение, от фр. sur — «на», «над» лат. jactio — «бросаю») — отображение множества $X$ на множество $Y$ $(f\colon X\to Y)$, при котором каждый элемент множества $Y$ является образом хотя бы одного элемента множества $X$, то есть $\forall y\in Y\exists x\in X:y=f(x)$, иными словами — функция, принимающая все возможные значения. Иногда говорят, что сюръективное отображение $f\colon X\to Y$ отображает $X$ на $Y$ (в противоположность инъективному отображению, которое отображает $X$ в $Y$).

Понятие сюръекции (наряду с инъекцией и биекцией) введено в обиход в трудах Бурбаки и получило всеобщее распространение практически во всех разделах математики.

Свойства

Отображение $f\colon X\to Y$ сюръективно тогда и только тогда, когда образ множества $X$ при отображении $f$ совпадает с $Y$: $f(X)=Y$. Также сюръективность функции $f$ эквивалентна существованию правого обратного отображения, то есть такого отображения $g:Y\to X$, что $f(g(y))=y$ для любого $y\in Y$ (в функциональных обозначениях — $f\circ g=\mathbf {Id} _{Y}$).

Примеры

• $f\colon \mathbb {R} \to [-1;\;1],\;f(x)=\sin x$ — сюръективно.
• $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;f(x)=x^{2}$ — сюръективно.
• $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2}$ — не является сюръективным (например, не существует такого $x\in \mathbb {R}$, что $f(x)=-9$).

Использование

В топологии важное понятие расслоения определяется как произвольное непрерывное сюръективное отображение топологических пространств (расслоенного пространства в базу расслоения).

Организация связи «многие к одному» между таблицами в сущностях реляционной модели данных — также может быть рассмотрена как сюръективная функция.

В теории категории понятие сюръекции обобщено в понятии эпиморфизма, притом во многих категориях эти понятия совпадают, но в общем случае это не так.

Литература

• Н. К. Верещагин, А.Шень. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов.
• Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: Лань, 2004. — 336 с.

См. также

• Биекция
• Инъекция (математика)
• Отображение
• Морфизм
• Гомоморфизм
• Изоморфизм
• Эндоморфизм
• Автоморфизм
• Мономорфизм
• Эпиморфизм
• Биморфизм