Топология

Лента Мёбиуса — поверхность с одной стороной и одним краем; пример объекта, изучаемого в топологии.

Гомеоморфность кружки и тороида.

Тополо́гия (от др.-греч. τόπος — место и λόγος — слово, учение) — раздел математики, изучающий:

• в самом общем виде — явление непрерывности;
• в частности — свойства пространств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях. Например, связность, ориентируемость, компактность.

В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов (например, расстояние между парой точек). Например, с точки зрения топологии кружка с ручкой и бублик (полноторий) неотличимы. При этом часто топология применяется к объектам, далёким от геометрических.

Весьма важными для топологии являются понятия гомеоморфизма и гомотопии (упрощённо: это типы деформации, происходящие без разрывов и склеиваний).

История

Семь мостов Кёнигсберга — известная задача, решённая Эйлером и способствовавшая развитию топологии

Раздел математики, ныне называемый топологией, берёт своё начало с изучения некоторых задач геометрии.

Различные источники указывают на первые топологические по духу результаты в работах Лейбница и Эйлера, однако термин «топология» впервые появился в 1847 году в работе Листинга. Листинг определяет топологию так:

«Под топологией будем понимать учение о модальных отношениях пространственных образов — или о законах связности, взаимного положения и следования точек, линий, поверхностей, тел и их частей или их совокупности в пространстве, независимо от отношений мер и величин».

Когда топология ещё только зарождалась (XVIII—XIX века), её называли геометрией размещения (лат. geometria situs) или анализом размещения (лат. analysis situs). Приблизительно с 1925 по 1975 годы топология являлась одной из самых бурно развивающихся отраслей математики.

Общая топология зародилась в конце XIX века — и оформилась в самостоятельную математическую дисциплину в начале XX века. Основополагающие работы принадлежат: Хаусдорфу, Пуанкаре (цикл статей Analysis situs), Александрову, Урысону, Брауэру.

Разделы топологии

Общая топология

Основная статья: Общая топология

Общая топология, или теоретико-множественная топология, — раздел топологии о непрерывности в чистом виде. Здесь исследуются фундаментальные вопросы топологии, а также отдельные вопросы, такие как связность и компактность.

Алгебраическая топология

Основная статья: Алгебраическая топология

Алгебраическая топология — раздел топологии о непрерывности с использованием алгебраических объектов, вроде гомотопических групп и гомологий.

Дифференциальная топология

Основная статья: Дифференциальная топология

Дифференциальная топология — раздел топологии о гладких многообразиях с точностью до диффеоморфизма и их включениях (размещениях) в других многообразиях.

Этот раздел включает в себя маломерную топологию, в том числе теорию узлов и четырёхмерную топологию.

Вычислительная топология

Основная статья: Вычислительная топология

Вычислительная топология — раздел, находящийся на пересечении топологии, вычислительной геометрии и теории вычислительной сложности. Занимается созданием эффективных алгоритмов для решения топологических проблем и применением топологических методов для решения алгоритмических проблем, возникающих в других областях науки.

См. также

• Топологическое пространство
• Глоссарий общей топологии

Литература

• Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. (Библиотечка «Квант», Вып. 21).
• Борисович Ю. Г., Близняков Н. М., Израилевич Я. А., Фоменко Т. Н. Введение в топологию. — Изд. 3-е. — М.: ЛЕНАНД, 2015
• Васильев В. А. Топология для младшекурсников. — М.: МЦНМО, 2014
• Вербицкий М. Лекции и задачи по топологии. — 2009.
• Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Элементарная топология. — 2007.
• Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. — М.: Мир, 1983.
• Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций / Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.).. — М.: Наука, 1981. — Т. 2. — С. 98—99. (недоступная ссылка)
• Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. — М.: Мир, 1972.
• Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. — М.: Мир, 1979.
• Прасолов В. В. Наглядная топология. — М.: МЦНМО, 1995.
• Стюарт Я. Топология. // Квант, № 7, 1992.
• Гарднер М. Нульсторонний профессор — рассказ, описывающий предмет топологии в занимательном ключе

Ссылки

• Раздел «Алгебраические многообразия и топология» физико-математической библиотеки сайта «Мир математических уравнений»
• Топология как геометрия XX века // Лекция математика Сергея Ландо в проекте ПостНаука (13.04.2013)