Стрелочные обозначения Кнута

В математике стрелочная нота́ция Кну́та — это метод для записи больших чисел, предложенный Дональдом Кнутом в 1976 году.

Стрелочная нотация Кнута тесно связана с функцией Аккермана и особенно с последовательностью гипероператоров. Её идея основывается на том факте, что умножение может быть представлено как выполненное несколько раз сложение, а возведение в степень — как выполненное несколько раз умножение. В частности, итерационное возведение в степень (тетрация) обычно записывается с помощью стрелочной нотации Кнута:

${\begin{matrix}a\uparrow \uparrow b&={\ ^{b}a}=&\underbrace {a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} &=&\underbrace {a\uparrow (a\uparrow (\dots \uparrow a))} \\&&b&&b\end{matrix}}$

Пентация в обозначениях Кнута:

${\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow b=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow a))} \\&b\end{matrix}}$

В указанных обозначениях присутствует b операндов, каждый из которых равен a, соответственно операции повторяются b — 1 раз.

Введение

Обычные арифметические операции — сложение, умножение и возведение в степень — естественным образом могут быть расширены в последовательность гипероператоров следующим образом.

Умножение натуральных чисел может быть определено через повторно производимую операцию сложения («сложить b копий числа a»):

${\begin{matrix}a\times b&=&\underbrace {a+a+\dots +a} \\&&b\end{matrix}}$

Например,

${\begin{matrix}4\times 3&=&\underbrace {4+4+4} &=&12\\&&3\end{matrix}}$

Возведение числа а в степень b может быть определено как повторно производимая операция умножения («перемножить b копий числа a»), и в обозначениях Кнута эта запись выглядит как одиночная стрелочка, указывающая вверх:

${\begin{matrix}a\uparrow b=a^{b}=&\underbrace {a\times a\times \dots \times a} \\&b\end{matrix}}$

Например,

${\begin{matrix}4\uparrow 3=4^{3}=&\underbrace {4\times 4\times 4} &=&64\\&3\end{matrix}}$

Такая одиночная стрелка вверх использовалась в качестве значка степени в языке программирования Алгол.

Продолжая далее последовательность операций за пределы возведения в степень, Дональд Кнут ввёл понятие оператора «двойная стрелочка» для записи тетрации (многократного возведения в степень).

${\begin{matrix}a\uparrow \uparrow b&={\ ^{b}a}=&\underbrace {a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} &=&\underbrace {a\uparrow (a\uparrow (\dots \uparrow a))} \\&&b&&b\end{matrix}}$

Например,

${\begin{matrix}4\uparrow \uparrow 3&={\ ^{3}4}=&\underbrace {4^{4^{4}}} &=&\underbrace {4\uparrow (4\uparrow 4)} &=&4^{256}\approx 1.3\times 10^{154}\\&&3&&3\end{matrix}}$

Здесь и далее вычисление выражения всегда идёт справа налево, также и стрелочные операторы Кнута (как и операция возведение в степень) по определению обладают правой ассоциативностью (очерёдностью справа налево). Согласно данному определению,

$3\uparrow \uparrow 2=3^{3}=27$

$3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7~625~597~484~987$

$3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}}=3^{7625597484987}$

$3\uparrow \uparrow 5=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{7625597484987}}$

и так далее.

Уже это приводит к довольно большим числам, но система обозначений на этом не заканчивается. Оператор «тройная стрелочка» используется для записи повторного возведения в степень оператора «двойная стрелочка» (также известного как «пентация»):

${\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow b=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow a))} \\&b\end{matrix}}$

затем оператора «четверная стрелочка»:

${\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow \uparrow a))} \\&b\end{matrix}}$

и т. д. Общее правило оператор «n-я стрелочка», в соответствии с правой ассоциативностью, продолжается вправо в последовательную серию операторов «n-1 стрелочка». Символически это можно записать следующим образом,

${\begin{matrix}a\ \underbrace {\uparrow _{}\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } \ b=a\ \underbrace {\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } \ a\ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } \ a\ \dots \ a\ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } \ a\\\quad \ \ \,n\qquad \ \ \ \underbrace {\quad n_{}\!-\!\!1\quad \ \,n\!-\!\!1\qquad \quad \ \ \ \,n\!-\!\!1\ \ \ } \\\qquad \qquad \quad \ \ b\end{matrix}}$

Например:

$3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7~625~597~484~987$

${\begin{matrix}3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow 3\uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3)=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&3\uparrow 3\uparrow 3\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&7625597484987\end{matrix}}$

Форма обозначения $a\uparrow ^{n}b$ обычно используется для записи $a\uparrow \uparrow \dots \uparrow b$ с n стрелочками.

Система обозначений

В таких выражениях как $a^{b}$, обычно для обозначения возведения в степень пишут показатель степени $b$ как верхний индекс основания $a$. Но многие другие среды — такие как языки программирования и e-mail — не поддерживают подобную двумерную конфигурацию. Поэтому пользователи должны использовать линейную форму записи $a\uparrow b$ для таких сред; стрелочка наверх предлагает возвести в степень степени. Если среди доступных символов нет стрелочки наверх, тогда вместо неё используется корректурный знак вставки «^». Верхний индекс записи $a^{b}$ сам по себе не приспособлен к обобщению, что объясняет, почему Дональд Кнут вместо такой формы записи выбрал линейную форму записи $a\uparrow b$.

Обозначение «↑»

Попытка написать выражение $a\uparrow \uparrow b$, используя знакомую форму записи с показателями степени, порождает башню степеней. Например

$a\uparrow \uparrow 4=a\uparrow a\uparrow a\uparrow a=a^{a^{a^{a}}}.$

Если b является переменной величиной (или очень большое), башня степеней может быть записана, используя точки и с пометкой, показывающей высоту башни

$a\uparrow \uparrow b=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{b}.$

Используя такую форму записи, выражение $a\uparrow \uparrow \uparrow b$ может быть записано как набор (стек) таких степенных башен, каждая из которых показывает степень вышележащей

$a\uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow a=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{a}}}.$

И снова, если b является переменной величиной (или очень большое), набор таких степенных башен может быть записан, используя точки и с пометкой, показывающей их высоты

$a\uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}b.$

Более того, выражение $a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b$ может быть записано, используя несколько колонок подобных степенных башен, где каждая колонна показывает число степенных башен в наборе слева

$a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \uparrow a=\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}a.$

В более общем случае:

$a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\cdots \right\}a} _{b}.$

Так можно писать неограниченно долго, чтобы представить $a\uparrow ^{n}b$ как итерацию возведения в степень для любого a, n и b (хотя понятно, что и это становится достаточно громоздким).

Использование тетрации

Форма записи $^{b}a$ в виде тетрации позволяет упростить такие схемы, при этом продолжая использовать геометрическое представление (мы можем их назвать тетрационными башнями).

$a\uparrow \uparrow b={}^{b}a,$

$a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{b},$

$a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}b.$

Наконец, в качестве примера, четвёртое число Аккермана $4\uparrow ^{4}4$ может быть записано в виде:

$\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{4}}}=\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{^{^{^{4}4}4}4}}.$

Обобщение

Некоторые числа настолько большие, что даже запись стрелочками Кнута становится слишком громоздкой; в этом случае использование оператора n-стрелочка $\uparrow ^{n}$ предпочтительней (и также для описания с изменяемым числом стрелочек), или эквивалентно, гипероператорам. Но некоторые числа настолько огромны, что даже подобная запись недостаточна. Например, число Грэма. Для его записи может быть использована цепочка Конвея: цепочка из трёх элементов эквивалентна другой системе записи, но цепочка из четырёх и более элементов является более мощной формой записи.

${\begin{matrix}a\uparrow ^{n}b&=&{\mbox{hyper}}(a,n+2,b)&=&a\to b\to n\\{\mbox{(Knut)}}&&&&{\mbox{(Conway)}}\end{matrix}}$

Общепринято использовать стрелочную форму записи Кнута для маленького размера чисел, а цепные стрелочки или гипероператоры для большого размера.

Определение

Обозначение стрелочка вверх формально определяется так

$a\uparrow ^{n}b=\left\{{\begin{matrix}a^{b},&{\mbox{если }}n=1;\\1,&{\mbox{если }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\mbox{в ином случае}}\end{matrix}}\right.$

для всех целых $a,b,n,$ где $b\geq 0,n\geq 1$.

Все стрелочные операторы (включая обычное возведение в степень, $a\uparrow b$) обладают правой ассоциативностью, то есть, их вычисление осуществляется справа налево, если выражение содержит два и более подобных оператора. Например,

$a\uparrow b\uparrow c=a\uparrow (b\uparrow c)$, но не $(a\uparrow b)\uparrow c$;

$3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}$ равно $3^{(3^{3})}=3^{27}=7625597484987$, но не $\left(3^{3}\right)^{3}=27^{3}=19683.$

Есть хорошая причина для подобного выбора направления вычисления справа налево. Если бы мы использовали способ вычисления слева направо, тогда $a\uparrow \uparrow b$ было бы равно $a\uparrow (a\uparrow (b-1))$, и тогда $\uparrow \uparrow$ в действительности не являлся бы новым оператором.

Правая ассоциативность также естественна по следующей причине. Мы можем переписать повторяемые стрелочные выражения $a\uparrow ^{n}\cdots \uparrow ^{n}a,$ которые появляются при расширении $a\uparrow ^{n+1}b$ в виде $a\uparrow ^{n}\cdots \uparrow ^{n}a\uparrow ^{n}1$, где всe a становятся левыми операндами стрелочных операторов. Это важно, так как стрелочные операторы не являются коммутативными.

Записывая $(a\uparrow ^{m})^{b}$ как функциональный показатель степени b функции $f(x)=a\uparrow ^{m}x,$ мы получим $a\uparrow ^{n}b=(a\uparrow ^{n-1})^{b}1$.

Определение можно продолжить ещё на один шаг, начиная с $a\uparrow ^{n}b=ab$ для n = 0, так как возведение в степень есть повторяемое умножение, начиная с 1. Экстраполировать ещё на один шаг, записывая умножение как повторяемое сложение, не совсем верно так как умножение есть повторяемое сложение, начиная с 0 вместо 1. «Экстраполируя» снова на один шаг, записывая добавочный n как повторяемое добавление 1, требует начинать с числа a. Это отличие также подчёркивается в определении гипероператора, где начальные значения для сложения и умножения задаются раздельно.

Таблица значений

Расчёт $2\uparrow ^{m}n$ может быть переформулирован в терминах бесконечной таблицы. Мы размещаем числа $2^{n}$ в верхнем ряду и заполняем колонку слева числом 2. Для определения числа в таблице следует взять число, ближайшее слева, затем найти сверху требуемое число в предыдущем ряду, в позиции, заданной только что полученным значением.

Значения $2\uparrow ^{m}n$ = hyper(2, m + 2, n) = 2 → n → m

m\n	1	2	3	4	5	6	Формула
1	2	4	8	16	32	64	$2^{n}$
2	2	4	16	65536	$2^{65536}\approx 2.0\times 10^{19,729}$	$2^{2^{65536}}\approx 10^{6.0\times 10^{19,728}}$	$2\uparrow \uparrow n$
3	2	4	65536	${\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65536\end{matrix}}$			$2\uparrow \uparrow \uparrow n$
4	2	4	${\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65536\end{matrix}}$				$2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n$

Таблица такая же, как в статье функция Аккермана, за исключением сдвига в значениях $m$ и $n$, и в добавке в размере 3 ко всем значениям.

Расчёт $3\uparrow ^{m}n$

Мы размещаем числа $3^{n}$ в верхнем ряду и заполняем колонку слева числом 3. Для определения числа в таблице следует взять число, ближайшее слева, затем найти сверху требуемое число в предыдущем ряду, в позиции, заданной только что полученным значением.

Значения $3\uparrow ^{m}n$ = hyper(3, m + 2, n) = 3 → n → m

m\n	1	2	3	4	5	Формула
1	3	9	27	81	243	$3^{n}$
2	3	27	7,625,597,484,987	$3^{7,625,597,484,987}$		$3\uparrow \uparrow n$
3	3	7,625,597,484,987	${\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7,625,597,484,987\end{matrix}}$			$3\uparrow \uparrow \uparrow n$
4	3	${\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7,625,597,484,987\end{matrix}}$				$3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n$

Расчёт $10\uparrow ^{m}n$

Мы размещаем числа $10^{n}$ в верхнем ряду и заполняем колонку слева числом 10. Для определения числа в таблице следует взять число, ближайшее слева, затем найти сверху требуемое число в предыдущем ряду, в позиции, заданной только что полученным значением.

Значения $10\uparrow ^{m}n$ = hyper(10, m + 2, n) = 10 → n → m

m\n	1	2	3	4	5	Формула
1	10	100	1,000	10,000	100,000	$10^{n}$
2	10	10,000,000,000	$10^{10,000,000,000}$	$10^{10^{10,000,000,000}}$	$10^{10^{10^{10,000,000,000}}}$	$10\uparrow \uparrow n$
3	10	${\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10\end{matrix}}$	${\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10^{10}\end{matrix}}$	${\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10^{10^{10}}\end{matrix}}$		$10\uparrow \uparrow \uparrow n$
4	10	${\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10\end{matrix}}$	${\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10^{10}\end{matrix}}$			$10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n$

Для 2 ≤ n ≤ 9 численное расположение $10\uparrow ^{m}n$ является лексикографическим порядком с m как наиболее значимым числом, так что порядок чисел этих 8 колонок есть просто линия-за-линией. То же самое применимо и для чисел в 97 колонках с 3 ≤ n ≤ 99, и мы начинаем с m = 1 даже для 3 ≤ n ≤ 9,999,999,999.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Knuth Up-Arrow Notation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.