Обычные арифметические операции — сложение, умножение и возведение в степень — естественным образом могут быть расширены в последовательность гипероператоров следующим образом:
Умножение натуральных чисел может быть определено через повторно производимую операцию сложения («сложить b копий числа a»):
,
например,
.
Возведение числа а в степень b может быть определено как повторно производимая операция умножения («перемножить b копий числа a»), и в обозначениях Кнута эта запись выглядит как одиночная стрелочка, указывающая вверх:
Например,
Такая одиночная стрелка вверх использовалась в качестве значка степени в языке программирования Алгол.
Продолжая далее последовательность операций за пределы возведения в степень, Дональд Кнут ввёл понятие оператора «двойная стрелочка» для записи тетрации (многократного возведения в степень):
.
Например,
.
Здесь и далее вычисление выражения всегда идёт справа налево. Также и стрелочные операторы Кнута (как и операция возведение в степень) по определению обладают правой ассоциативностью (очерёдностью справа налево). Согласно данному определению,
,
,
,
,
и так далее.
Уже это приводит к довольно большим числам, но система обозначений на этом не заканчивается. Оператор «тройная стрелочка» используется для записи повторного возведения в степень оператора «двойная стрелочка» (также известного как «пентация»):
,
затем оператора «четверная стрелочка»:
и т. д. Общее правило оператор «n-я стрелочка», в соответствии с правой ассоциативностью, продолжается вправо в последовательную серию операторов «n-1 стрелочка». Символически это можно записать следующим образом:
.
Например:
,
.
Форма обозначения обычно используется для записи с n стрелочками.
В таких выражениях как , обычно для обозначения возведения в степень пишут показатель степени как верхний индекс основания . Но многие другие среды — такие как языки программирования и e-mail — не поддерживают подобную двумерную конфигурацию. Поэтому пользователи должны использовать линейную форму записи для таких сред; стрелочка наверх предлагает возвести в степень степени. Если среди доступных символов нет стрелочки вверх, тогда вместо неё используется корректурный знак вставки «^».Верхний индекс записи сам по себе не приспособлен к обобщению, что объясняет, почему Дональд Кнут вместо такой формы записи выбрал линейную форму записи .
Попытка написать выражение , используя знакомую форму записи с показателями степени, порождает башню степеней. Например:
.
Если b является переменной величиной (или очень большое), башня степеней может быть записана, используя точки и с пометкой, показывающей высоту башни
.
Используя такую форму записи, выражение может быть записано как набор (стек) таких степенных башен, каждая из которых показывает степень вышележащей
.
И снова, если b является переменной величиной (или очень большое), набор таких степенных башен может быть записан, используя точки и с пометкой, показывающей их высоты
.
Более того, выражение может быть записано, используя несколько колонок подобных степенных башен, где каждая колонна показывает число степенных башен в наборе слева
.
В более общем случае:
.
Так можно писать неограниченно долго, чтобы представить как итерацию возведения в степень для любого a, n и b (хотя понятно, что и это становится достаточно громоздким).
Форма записи в виде тетрации позволяет упростить такие схемы, при этом продолжая использовать геометрическое представление (мы можем их назвать тетрационными башнями).
,
,
.
Наконец, в качестве примера, четвёртое число Аккермана может быть записано в виде:
Некоторые числа настолько большие, что даже запись стрелочками Кнута становится слишком громоздкой; в этом случае использование оператора n-стрелочка предпочтительней (и также для описания с изменяемым числом стрелочек), или эквивалентно, гипероператорам.
Но некоторые числа настолько огромны, что даже подобная запись недостаточна. Например, число Грэма. Для его записи может быть использована цепочка Конвея: цепочка из трёх элементов эквивалентна другой системе записи, но цепочка из четырёх и более элементов является более мощной формой записи.
Общепринято использовать стрелочную форму записи Кнута для маленького размера чисел, а цепные стрелочки или гипероператоры для большого размера.
Обозначение стрелочка вверх формально определяется так
для всех целых где .
Все стрелочные операторы (включая обычное возведение в степень, ) обладают правой ассоциативностью, то есть, их вычисление осуществляется справа налево, если выражение содержит два и более подобных оператора. Например,
, но не ;
равно , но не
Есть хорошая причина для подобного выбора направления вычисления справа налево. Если бы мы использовали способ вычисления слева направо, тогда было бы равно , и тогда в действительности не являлся бы новым оператором.
Правая ассоциативность также естественна по следующей причине. Мы можем переписать повторяемые стрелочные выражения которые появляются при расширении в виде , где всe a становятся левыми операндами стрелочных операторов. Это важно, так как стрелочные операторы не являются коммутативными.
Определение можно продолжить ещё на один шаг, начиная с для n = 0, так как возведение в степень есть повторяемое умножение, начиная с 1. Экстраполировать ещё на один шаг, записывая умножение как повторяемое сложение, не совсем верно так как умножение есть повторяемое сложение, начиная с 0 вместо 1. «Экстраполируя» снова на один шаг, записывая добавочный n как повторяемое добавление 1, требует начинать с числа a. Это отличие также подчёркивается в определении гипероператора, где начальные значения для сложения и умножения задаются раздельно.
Расчёт может быть переформулирован в терминах бесконечной таблицы. Мы размещаем числа в верхнем ряду и заполняем колонку слева числом 2. Для определения числа в таблице следует взять число, ближайшее слева, затем найти сверху требуемое число в предыдущем ряду, в позиции, заданной только что полученным значением.
Таблица такая же, как в статье функция Аккермана, за исключением сдвига в значениях и , и в добавке в размере 3 ко всем значениям.
Расчёт
Мы размещаем числа в верхнем ряду и заполняем колонку слева числом 3. Для определения числа в таблице следует взять число, ближайшее слева, затем найти сверху требуемое число в предыдущем ряду, в позиции, заданной только что полученным значением.
Мы размещаем числа в верхнем ряду и заполняем колонку слева числом 10. Для определения числа в таблице следует взять число, ближайшее слева, затем найти сверху требуемое число в предыдущем ряду, в позиции, заданной только что полученным значением.
Для 2 ≤ n ≤ 9 численное расположение является лексикографическим порядком с m как наиболее значимым числом, так что порядок чисел этих 8 колонок есть просто линия-за-линией. То же самое применимо и для чисел в 97 колонках с 3 ≤ n ≤ 99, и мы начинаем с m = 1 даже для 3 ≤ n ≤ 9,999,999,999.
↑Knuth, Donald E. Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness (англ.) // Science : journal. — 1976. — Vol. 194. — P. 1235—1242. — doi:10.1126/science.194.4271.1235.