Уровенный эллипсоид

Уровенный эллипсоид — это эллипсоид, поверхность которого совпадает с уровенной поверхностью создаваемого им поля.

Понятие об уровенном эллипсоиде

Фигура и гравитационное поле Земли тесно взаимосвязаны. Значительные трудности при определении потенциала силы тяжести Земли обуславливается сложной фигурой Земли и особенностями распределения плотностей масс.
Эта задача может быть облегчена, если представить гравитационное поле Земли в виде двух полей, а именно: нормальное и аномальное поля. Их следует рассматривать отдельно.
Обычно в геодезии используется нормальная Земля в виде идеальной планеты. В этом случае она имеет форму эллипсоида вращения

${\frac {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}{a_{0}^{2}}}+{\frac {z_{0}^{2}}{b_{0}^{2}}}=1$,

где $x_{0},y_{0},z_{0}$ — координаты точки на поверхности эллипсоида; $a_{0},b_{0}$ — большая и малая полуоси этого эллипсоида.

Эта поверхность является уровенной поверхностью нормального потенциала силы тяжести. Это означает, что на поверхности эллипсоида выполняется условие

$U=U_{0}$,

где $U_{0}$ — постоянная.

Такой эллипсоид и называется уровенным. Использование поля силы тяжести уровенного эллипсоида в качестве нормального поля удобно в геодезии, так как в этом случае одна и та же поверхность будет отсчетной при решении как геометрических, так и физических задач.

Центр уровенного эллипсоида совмещают с центром масс Земли, а ось вращения — с осью вращения Земли. Гравитационное поле, создаваемое таким эллипсоидом называется нормальным гравитационным полем, а сила тяжести — нормальной силой тяжести.

Специальная система координат сжатого эллипсоида вращения

Потенциал уровенного эллипсоида находится из решения краевой задачи. Удобнее все решать ее в специальных эллипсоидально-гармонических координатах $b,u,L,$ которые связаны с прямоугольными координатами $x,y,z,$ через следующие соотношения:

$x={\sqrt {b^{2}+E^{2}}}\cos u\cos L$
$y={\sqrt {b^{2}+E^{2}}}\cos u\sin L$
$z=b\cos u$,
где $b$ — малая полуось софокусного отсчетному эллипсоида, проходящего через определяемую точку, $u$ — приведенная широта, $L$ — долгота, $E$ — линейный эксцентриситет.
Далее необходимо вычислить коэффициенты Ламе этой системы координат:
$h_{1}={\frac {\sqrt {b^{2}+E^{2}\sin ^{2}u}}{a}}$
$h_{2}={\sqrt {b^{2}+E^{2}\sin ^{2}u}}$
$h_{3}={\sqrt {b^{2}+E^{2}\cos u}}$

Внешний потенциал уровенного эллипсоида

Центробежный потенциал
$Q={\frac {\omega ^{2}}{2}}(x^{2}+y^{2})={\frac {\omega ^{2}}{2}}r^{2}\sin ^{2}\vartheta ={\frac {\omega ^{2}}{2}}(b^{2}+E^{2})\cos ^{2}u$
не удовлетворяет уравнению Лапласа и не является регулярным на бесконечности. Такими же свойствами обладает и потенциал силы тяжести, отсюда следует, что его нельзя напрямую определить из решения краевой задачи.
Для решения краевой задачи по уровенной поверхности необходимо обратиться к теореме Стокса. Тогда краевая задача может быть сформулирована в следующем виде
$V_{0}=U_{0}-Q_{0},U_{0}=const,\Delta V=0,\lim _{r\to \infty }V=0$,
где $V_{0}$ — краевое условие на поверхности эллипсоида, откуда следует, что потенциал притяжения $V_{0}$ не является постоянным на поверхности эллипсоида и зависит от широты. Такая задача является частным случаем задачи Дирихле, когда краевая поверхность является уровенной. Также иногда ее называют задачей Стокса.
Решением этой задачи будет следующее выражение
$V={\frac {GM}{E}}\arctan {\frac {E}{b}}+{\frac {\omega ^{2}}{3}}(b_{0}^{2}+E^{2}){\frac {q}{q_{0}}}P_{2}(\sin u)$,
где
$q=\left[\left(3{\frac {b^{2}}{E^{2}}}+1\right)\arctan {\frac {E}{b}}-3{\frac {b}{E}}\right]$,
а $q_{0}$ — значение $q$ на поверхности эллипсоида при $b=b_{0}$.
Тогда, потенциал притяжения на поверхности эллипсоида при $q=q_{0}$ равен
$V_{0}={\frac {GM}{E}}\arctan {\frac {E}{b_{0}}}+{\frac {\omega ^{2}}{3}}(b_{0}^{2}+E^{2})P_{2}(\sin u)$.
Применяя к решению задачи краевой задачи центробежный потенциал, получим внешний потенциал силы тяжести уровенного эллипсоида вращения
$U={\frac {GM}{E}}\arctan {\frac {E}{b}}+{\frac {\omega ^{2}}{3}}(b^{2}+E^{2})+\left({\frac {\omega ^{2}}{3}}(b_{0}^{2}+E^{2}){\frac {q}{q_{0}}}-{\frac {\omega ^{2}}{3}}(b^{2}+E^{2})\right)P_{2}(\sin u)$,
где учтено, что $Q={\frac {\omega ^{2}}{2}}(b^{2}+E^{2})\cos ^{2}u={\frac {\omega ^{2}}{3}}(b^{2}+E^{2})[1-P_{2}(\sin u)]$.
Тогда, на поверхности уровенного эллипсоида, при $b=b_{0}$ получим
$U_{0}={\frac {GM}{E}}\arctan {\frac {E}{b_{0}}}+{\frac {\omega ^{2}}{3}}(b_{0}^{2}+E^{2})$

Сила тяжести на поверхности уровенного эллипсоида

Для того чтобы найти силу тяжести $\gamma _{0}$ на эллипсоиде, необходимо найти производную потенциала $U$ по нормали $n$ к уровенной поверхности эллипсоида
$\gamma _{0}=-{\frac {\partial U}{\partial n}}{\bigg |}_{b=b_{0}}$
В специальной системе координат $b,u,L,$ элемент нормали к эллипсоиду имеет вид $dn=h_{1}db$, поэтому используя $h_{1}$, можно записать
$\gamma _{0}=-{\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial U}{\partial b}}{\bigg |}_{b=b_{0}}={\frac {a_{0}}{\sqrt {b_{0}^{2}+E^{2}\sin ^{2}u}}}{\frac {\partial U}{\partial b}}{\Bigg |}_{b=b_{0}}$
. После дифференцирования внешнего потенциала силы тяжести получим
$\gamma _{0}={\frac {1}{\sqrt {b_{0}^{2}+E^{2}\sin ^{2}u}}}{\Bigg (}{\frac {GM}{a_{0}}}-{\frac {2}{3}}\omega ^{2}a_{0}b_{0}+{\frac {4}{3}}\omega ^{2}a_{0}E{\frac {1-{\frac {b_{0}}{E}}\arctan {\frac {E}{b_{0}}}}{(1+3{\frac {b_{0}^{2}}{E^{2}}})\arctan {\frac {E}{b_{0}}}-3{\frac {b_{0}}{E}}}}{\Bigg )}$
При $u=\pi /2$ получим значение силы тяжести на полюсе, а при $u=0$ — на экваторе уровенного эллипсоида.
Это выражение можно привести к более упрощенному виду
$\gamma _{0}={\frac {\gamma _{e}a_{0}\cos ^{2}B+\gamma _{p}b_{0}sin^{2}B}{\sqrt {a_{0}^{2}\cos ^{2}B+b_{0}^{2}\sin ^{2}B}}}$
Это формула Сомильяны. С её помощью можно вычислить значение нормальной силы тяжести в любой точке на поверхности эллипсоида, зная геодезическую широту $B$. Часто формулу Сомильяны записывают в виде
$\gamma _{0}=\gamma _{e}{\frac {1+k+\sin ^{2}B}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}B}}}$,
где
$k={\frac {b_{0}\gamma _{p}-a_{0}\gamma _{e}}{a_{0}\gamma _{e}}}$.

Литература

• Огородова Л. В. Нормальное поле и определение аномального потенциала (текст лекций по геодезической гравиметрии и теории фигуры Земли): Учебное пособие. –М.: Изд-во МИИГАиК, 2010. –105 с.

• Яковлев Н. В. Высшая геодезия: Учебник для вузов. –М.: Недра, 1989. –445 с.

Категория:Геодезия Категория:Гравиметрия