Дедекиндово сечение

Дедеки́ндово сече́ние — один из способов построения вещественных чисел из рациональных.

Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений. На них возможно продолжить операции сложения и умножения.

История

Метод был введён в 1872 году Рихардом Дедекиндом.

Аналогичное построение для геометрических величин неявно присутствует в «Началах» Евклида, а именно, в книге V определение 5 звучит следующим образом:

Говорят, что величины находятся в том же отношении первая ко второй и третья к четвёртой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, одновременно равны или одновременно меньше равнократных второй и четвёртой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответствующем порядке (9, 10, 11, 12)..

Близкие идеи опубликовал в 1849 году французский математик Жозеф Бертран.

Определение

Дедекиндово сечение — это разбиение множества рациональных чисел $\mathbb {Q}$ на два подмножества $A$ (нижнее, или левое) и $B$ (верхнее, или правое) такие, что:

1. $a<b$ для любых $a\in A$ и $b\in B$,
2. $B$ не имеет наименьшего элемента.

Далее дедекиндово сечение обозначается $(A,B)$ (хотя было бы достаточно указать одно из этих множеств, второе дополняет его до $\mathbb {Q}$).

Если множество $A$ имеет наибольший элемент, то дедекиндово сечение можно отождествить с этим рациональным числом. В противном случае сечение определяет иррациональное число, которое больше всех чисел множества $A$ и меньше всех чисел множества $B$. Определив на полученном множестве сечений арифметические операции и порядок, мы получаем поле вещественных чисел, причём каждое сечение определяет одно и только одно вещественное число.

Пример

Дедекиндово сечение √2

Вещественному числу ${\sqrt {2}}$ соответствует дедекиндово сечение, для которого:

множество $A=\{x\in \mathbb {Q} \mid x<0\lor x^{2}<2\}.$

множество $B=\{x\in \mathbb {Q} \mid x>0\land x^{2}>2\};$

Интуитивно можно представить себе, что для того, чтобы определить ${\sqrt {2}}$, мы рассекли множество на две части: все числа, что левее ${\sqrt {2}}$, и все числа, что правее ${\sqrt {2}}$; соответственно, ${\sqrt {2}}$ равен точной нижней грани множества $B$.

Упорядоченность дедекиндовых сечений

Введём во множестве сечений порядок. Сначала определим, что два сечения $(A,B)$ и $(C,D)$ равны, если $A=C$ (тогда и $B=D$). Далее определим:

$(A,B)<(C,D)$, если $A\subset C$ и при этом $A\neq C.$

Нетрудно проверить, что все требования линейного порядка выполнены. Кроме того, для рациональных чисел новый порядок совпадает со старым.

Из данного определения порядка следует:

Теорема о приближении. Любое вещественное число может быть с любой точностью приближено рациональными числами, то есть может быть заключено в интервал с рациональными границами произвольно малой длины.

Арифметика дедекиндовых сечений

Для определения арифметических действий с сечениями можно воспользоваться сформулированной в предыдущем разделе теоремой о приближении.

Пусть $\alpha ,\beta$ — вещественные числа. Согласно теореме о приближении, для них можно указать интервалы-приближения с рациональными границами:

$a_{1}<\alpha <a_{2}\quad b_{1}<\beta <b_{2}.$

Тогда суммой $\alpha +\beta$ называется вещественное число, содержащееся во всех интервалах вида $(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2}).$ Сумма вещественных чисел всегда существует, однозначно определена и для рациональных чисел совпадает с прежним определением суммы. Вычитание всегда возможно, поэтому относительно так определённой операции сложения вещественные числа образуют аддитивную группу.

Аналогично определяется умножение вещественных чисел, которое вместе со сложением превращает множество вещественных чисел в упорядоченное поле.

Вариации и обобщения

См. также: Пополнение Дедекинда — Макнейла

Дедекиндовы сечения можно аналогично определить не только для рациональных чисел, но и в любом другом линейно упорядоченном множестве. См. Полнота (теория порядка). Можно показать, что применение этой процедуры к множеству вещественных чисел $\mathbb {R}$ даёт снова $\mathbb {R} .$

Аналог дедекиндовых сечений используется для построения сюрреальных чисел.

См. также

• Конструктивные способы определения вещественного числа

Литература

• Кудрявцев Л. Д. Дедекиндово сечение // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2: Д — Коо. — С. 65. — 1104 стб. : ил. — 150 000 экз.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. I. — 680 с.