Круговой многочлен

Круговой многочлен, или многочлен деления круга, — многочлен вида

$\Phi _{n}(x)=\prod _{k}(x-\xi _{n}^{k})$

где

$\xi _{n}^{k}=\cos {\frac {2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {2\pi k}{n}}$

представляет собой корень степени $n$ из единицы, а произведение берётся по всем натуральным числам $k$, не большим $n$ и взаимно простым с $n$.

Свойства

• Коэффициенты кругового многочлена являются целыми числами.
• Степень кругового многочлена $\mathop {\mathrm {deg} } \,\Phi _{n}=\varphi (n)$, где $\varphi$ — функция Эйлера.
• Круговой многочлен удовлетворяет соотношению

$\prod _{d|n}\Phi _{d}(x)=x^{n}-1$

где произведение берется по всем положительным делителям $d$ числа $n$, включая единицу и само $n$. Это равенство можно переписать в следующем виде:

$\Phi _{n}(x)={\frac {x^{n}-1}{\prod _{d|n,\,d<n}\Phi _{d}(x)}}.$

• Для многочлена $\Phi _{n}(x)$ можно указать явное выражение через функцию Мёбиуса:

$\Phi _{n}(x)=\prod _{d|n}(x^{d}-1)^{\mu (n/d)}$

• Частный случай предыдущей формулы: если $n=p$ — простое число, то

$\Phi _{n}(x)={\frac {x^{p}-1}{x-1}}=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +1$

• Если $n=2m$, где $m$ — нечётное число, большее единицы, то:

$\Phi _{2m}(x)=\Phi _{m}(-x)$

• Если $m$ — максимальное натуральное число, делящее $n$, и свободное от квадратов (радикал $n$), и $d=n/m$, то

$\Phi _{n}(x)=\Phi _{m}(x^{d})$

• Если $p$ — простое число, не делящее $n$, то

$\Phi _{pn}(x)={\frac {\Phi _{n}(x^{p})}{\Phi _{n}(x)}}$

• Над полем рациональных чисел все многочлены $\Phi _{n}(x)$ неприводимы, но над конечными простыми полями эти многочлены могут быть приводимы. Так, если $p$ — простое число, то по модулю $p$ многочлен $\Phi _{p-1}(x)$ разлагается на линейные множители, а многочлен $\Phi _{p+1}(x)$ раскладывается в произведение (различных) многочленов степени 2 (неприводимых над кольцом $\mathbb {Z} _{p}$), со свободными членами, равными 1.
  • Например:

$\Phi _{8}(x)=x^{4}+1=(x^{2}+4x+1)(x^{2}-4x+1){\pmod {7}}$

$\Phi _{12}(x)=x^{4}-x^{2}+1=(x^{2}+5x+1)(x^{2}-5x+1){\pmod {11}}$

$\Phi _{14}(x)=(x^{2}-6x+1)(x^{2}-5x+1)(x^{2}-3x+1){\pmod {13}}$

• Более общим является следующий факт: Если p — простое число, n — натуральное, то многочлен $\Phi _{\Phi _{n}(p)}(x)$ по модулю p раскладывается в произведение многочленов степени n. Если n ещё и простое, то многочлены степени n, участвующие в разложении, неприводимы над кольцом $\mathbb {Z} _{p}$.
• При $x\geqslant 1$

$|x-1|^{\varphi (n)}\leqslant \Phi _{n}(x)\leqslant |x+1|^{\varphi (n)}$

Примеры

Приведём сводку первых 30 круговых многочленов.

$\Phi _{1}(x)=x-1$

$\Phi _{2}(x)=x+1$

$\Phi _{3}(x)=x^{2}+x+1$

$\Phi _{4}(x)=x^{2}+1$

$\Phi _{5}(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$

$\Phi _{6}(x)=x^{2}-x+1$

$\Phi _{7}(x)=x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$

$\Phi _{8}(x)=x^{4}+1$

$\Phi _{9}(x)=x^{6}+x^{3}+1$

$\Phi _{10}(x)=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1$

$\Phi _{11}(x)=x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$

$\Phi _{12}(x)=x^{4}-x^{2}+1$

$\Phi _{13}(x)=x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$

$\Phi _{14}(x)=x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1$

$\Phi _{15}(x)=x^{8}-x^{7}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1$

$\Phi _{16}(x)=x^{8}+1$

$\Phi _{17}(x)=x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$

$\Phi _{18}(x)=x^{6}-x^{3}+1$

$\Phi _{19}(x)=x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$

$\Phi _{20}(x)=x^{8}-x^{6}+x^{4}-x^{2}+1$

$\Phi _{21}(x)=x^{12}-x^{11}+x^{9}-x^{8}+x^{6}-x^{4}+x^{3}-x+1$

$\Phi _{22}(x)=x^{10}-x^{9}+x^{8}-x^{7}+x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1$

$\Phi _{23}(x)=x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$

$\Phi _{24}(x)=x^{8}-x^{4}+1$

$\Phi _{25}(x)=x^{20}+x^{15}+x^{10}+x^{5}+1$

$\Phi _{26}(x)=x^{12}-x^{11}+x^{10}-x^{9}+x^{8}-x^{7}+x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1$

$\Phi _{27}(x)=x^{18}+x^{9}+1$

$\Phi _{28}(x)=x^{12}-x^{10}+x^{8}-x^{6}+x^{4}-x^{2}+1$

$\Phi _{29}(x)=x^{28}+x^{27}+x^{26}+x^{25}+x^{24}+x^{23}+x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$

$\Phi _{30}(x)=x^{8}+x^{7}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1$

Из этой сводки можно сделать ошибочный вывод, что ненулевые коэффициенты кругового многочлена всегда равны $\pm 1,$ но это предположение неверно. Первый контрпример даёт 105-й многочлен:

${\begin{aligned}\Phi _{105}(x)=&\;x^{48}+x^{47}+x^{46}-x^{43}-x^{42}-2x^{41}-x^{40}-x^{39}+x^{36}+x^{35}+x^{34}\\&{}+x^{33}+x^{32}+x^{31}-x^{28}-x^{26}-x^{24}-x^{22}-x^{20}+x^{17}+x^{16}+x^{15}\\&{}+x^{14}+x^{13}+x^{12}-x^{9}-x^{8}-2x^{7}-x^{6}-x^{5}+x^{2}+x+1\end{aligned}}$

Приложения

Одним из важнейших приложений круговых многочленов является теорема о мультипликативной группе конечного поля:

Теорема. Мультипликативная группа $K^{*}$ конечного поля $K$ является циклической группой.

Доказательство. Пусть поле $K$ состоит из $n+1$ элемента, тогда его мультипликативная группа (группа обратимых элементов) $K^{*}$ содержит все элементы поля, кроме нуля, то есть состоит из $n$ элементов. По теореме Лагранжа порядок элемента группы делит порядок этой группы, следовательно, для любого элемента $a\in K^{*}$ выполнено $a^{n}=1$, то есть все элементы из $K^{*}$ являются корнями уравнения $x^{n}-1=0$. Тогда

$\prod \limits _{a\in K^{*}}(x-a)=x^{n}-1$,

так как все корни левой части являются корнями правой части и степени и старшие члены обоих многочленов равны.

Так как

$x^{n}-1=\prod \limits _{d|n}\Phi _{d}(x)$ и $\deg \Phi _{d}(x)=\varphi (d)\geqslant 1$,

то многочлен $\Phi _{n}(x)$ имеет ровно $\varphi (n)$ корней в $K$ (и, значит, хотя бы один). Его корни являются элементами группы $K^{*}$ порядка $n$, то есть циклическая группа, образованная любым из них, содержит $n$ различных элементов и должна совпадать со всей группой $K^{*}$, откуда следует цикличность этой группы.

См. также

• Круговое поле

Литература

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Мир, 1975.
• Деления круга многочлен // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2. — Стб. 81—82. — 1104 с.