Начал свою профессиональную карьеру в 2009 году в составе нижнекамского клуба Молодёжной хоккейной лиги «Реактор». В своём дебютном сезоне провёл на площадке 31 матч, набрав 9 (2+7) очков, однако уже в следующем сезоне он превзошёл своё достижение более чем в два раза, набрав 22 (7+15) очка в 30 матчах. Сезон 2011/12 Куликов также начал в составе «Реактора», а 2 ноября 2011 года в домашнем матче против астанинского «Барыса» (3:5) дебютировал в Континентальной хоккейной лиге, проведя на площадке чуть больше четырёх минут. Больше за «Нефтехимик» в том сезоне не играл.
Первую шайбу в КХЛ забросил в следующем сезоне, 24 сентября 2012 года в ворота магнитогорского «Металлурга» (2:7).
В составе сборной России Павел Куликов принимал участие в юниорском чемпионате мира 2010 года, на котором россияне стали лишь четвёртыми, а также молодёжном первенстве мира 2012 года, где он вместе с командой завоевал серебряные награды. На этих турнирах на счету Куликова 3 (1+2) очка в 14 проведённых матчах.
