Обратная параболическая интерполяция
Обратная параболическая интерполяция — итерационный численный метод нахождения корня уравнения , где — непрерывная функция одной переменной. Идея метода состоит в параболической интерполяции функции по трём точкам. Но в отличие от метода Мюллера интерполируется функция обратная к . Метод эффективнее более простых методов, если функция дважды дифференцируема. Алгоритм используется в качестве составной части популярного метода Брента.
Метод
[править | править код]Алгоритм обратной параболической интерполяции задаётся рекуррентной формулой:
где . Как следует из формулы, для начала вычислений необходимы три начальные точки и желательно, но не обязательно, чтобы корень находился в задаваемом ими отрезке.
Доказательство формулы метода
[править | править код]Рассмотрим три точки как значения функции от аргументов . Интерполяционный многочлен Лагранжа для этих точек будет выглядеть следующим образом
Поскольку мы ищем корень , то и эта замена даёт искомую рекуррентную формулу.
Сходимость
[править | править код]Если функция достаточно гладкая, начальные точки близки к корню и корень не является экстремумом, то метод сходится очень быстро. Порядок асимптотической сходимости метода около 1,8. Однако иногда метод не эффективен или вообще не приводит к результату. В частности, если два значения функции случайно совпали, то продолжение итераций невозможно. Этот недостаток устраняется комбинированием метода с более робастными методами меньшей скорости сходимости, что, в частности, сделано в методе Брента.
Сравнение с другими методами
[править | править код]Обратная параболическая интерполяция тесно связана с методом Мюллера, который имеет примерно такой же порядок сходимости и с методом секущих, порядок сходимости которого меньше. В отличие от метода Ньютона, который имеет большую скорость сходимости (2), метод не требует вычисления производных.
Ссылки
[править | править код]- James F. Epperson, An introduction to numerical methods and analysis, pages 182—185, Wiley-Interscience, 2007. ISBN 978-0-470-04963-1
Для улучшения этой статьи желательно:
|