Поиск в глубину
Поиск в глубину (англ. Depth-first search, DFS) — один из методов обхода графа. Стратегия поиска в глубину, как и следует из названия, состоит в том, чтобы идти «вглубь» графа, насколько это возможно. Алгоритм поиска описывается рекурсивно: перебираем все исходящие из рассматриваемой вершины рёбра. Если ребро ведёт в вершину, которая не была рассмотрена ранее, то запускаем алгоритм от этой нерассмотренной вершины, а после возвращаемся и продолжаем перебирать рёбра. Возврат происходит в том случае, если в рассматриваемой вершине не осталось рёбер, которые ведут в нерассмотренную вершину. Если после завершения алгоритма не все вершины были рассмотрены, то необходимо запустить алгоритм от одной из нерассмотренных вершин[1].
Алгоритм поиска в глубину
[править | править код]Пусть задан граф , где — множество вершин графа, — множество ребер графа. Предположим, что в начальный момент времени все вершины графа окрашены в белый цвет. Выполним следующие действия:
- Пройдём по всем вершинам .
- Если вершина белая, выполним для неё
DFS(v)
.
- Если вершина белая, выполним для неё
Процедура DFS (параметр — вершина )
- Перекрашиваем вершину в серый цвет.
- Для всякой вершины , смежной с вершиной и окрашенной в белый цвет, рекурсивно выполняем процедуру
DFS(w)
[2]. - Перекрашиваем вершину в чёрный цвет.
Часто используют двухцветные метки — без серого, на 1-м шаге красят сразу в чёрный цвет.
Нерекурсивные варианты
[править | править код]На больших графах поиск в глубину серьёзно нагружает стек вызовов. Если есть риск переполнения стека, используют нерекурсивные варианты поиска.
Первый вариант, простейший, но дающий немалый объём стека — до |E|.
- Кладём в стек первую вершину.
- Пока стек не пуст, берём верхнюю вершину, не извлекая.
- Если вершина белая…
- Красим в серый цвет.
- Кладём в стек всех её белых соседок в порядке, обратном порядку обхода (если таковой важен).
- Если вершина серая, красим в чёрный и извлекаем.
- Если вершина чёрная, просто извлекаем.
- Если вершина белая…
Если хватает двухцветных меток…
- Кладём в стек первую вершину.
- Пока стек не пуст, извлекаем верхнюю вершину. Если она белая…
- Красим в чёрный цвет.
- Кладём в стек всех её белых соседок в порядке, обратном порядку обхода.
Второй вариант: можно представить стек вызова программно: для каждой из серых вершин в стеке будет храниться её номер и номер текущей смежной вершины .
Процедура DFS (параметр — вершина )
- Кладём в стек пару . Перекрашиваем вершину в серый цвет.
- Пока стек не пуст…
- Берём верхнюю пару , не извлекая её из стека.
- Находим вершину , смежную с и следующую за .
- Если таковой нет, извлекаем из стека, перекрашиваем вершину в чёрный цвет.
- В противном случае присваиваем , прямо в стеке.
- Если к тому же вершина белая, кладём на стек пару , перекрашиваем в серый цвет.
Третий вариант: можно в каждой из «серых» вершин держать текущее и указатель на предыдущую (ту, из которой пришли).
Поиск в глубину с метками времени. Классификация рёбер
[править | править код]Для каждой из вершин установим два числа — «время» входа и «время» выхода .
Модифицируем процедуру DFS так.
- Увеличиваем «текущее время» на 1. .
- Перекрашиваем вершину в серый цвет.
- Для всякой вершины , смежной с вершиной и окрашенной в белый цвет, выполняем процедуру
DFS(v)
. - Перекрашиваем вершину в чёрный цвет.
- Увеличиваем «текущее время» на 1. .
Считаем, что граф ориентированный. Очевидно, для любой вершины, из которой мы не вышли в момент t, . Также невозможно скрёстное неравенство: . Просматриваемые на шаге 3 дуги u→v могут быть:
- . В момент выполнения шага 3 (обозначенный как t) вершина v белая. В таком случае мы для вершины v исполняем DFS, а дуга называется дугой дерева поиска.
- . В момент t вершина v чёрная, сравнение entry говорит, что в v попали из u. Такая дуга называется прямой.
- . В момент t вершина v также чёрная, но сравнение entry говорит, что в v попали в обход u. Такая дуга называется перекрёстной.
- . В момент t вершина v серая, то есть в u попали из v. Имеем дело с обратной дугой.
Рёбра неориентированного графа могут быть рёбрами дерева и обратными, но не прямыми и перекрёстными.[3] Чтобы различать рёбра неориентированного графа, достаточно указанных выше трёх- или двухцветных отметок. Ребро, идущее в белую вершину,— ребро дерева. В серую (чёрную в двухцветном варианте) — обратное. В чёрную — такого не бывает.[4]
Алгоритм Косарайю требует сортировки вершин в обратном порядке по времени выхода. Метка входа и типы рёбер нужны в алгоритмах поиска точек сочленения и мостов. Метки выхода в обратном порядке — топологический порядок вершин.
Применение
[править | править код]Поиск в глубину ограниченно применяется как собственно поиск, чаще всего на древовидных структурах: когда расстояние между точками мало́, поиск в глубину может «плутать» где-то далеко.
Зато поиск в глубину — хороший инструмент для исследования топологических свойств графов. Например:
- В качестве подпрограммы в алгоритмах поиска одно- и двусвязных компонент.
- В топологической сортировке.
- Для поиска точек сочленения, мостов.
- Для преобразования синтаксического дерева в строку (любую: префиксную, инфиксную, обратную польскую).
- В различных расчётах на графах. Например, как часть алгоритма Диница поиска максимального потока.
Поиск в глубину — естественный выбор, когда агент (человек или робот) лично ходит по лабиринту и видит то, что непосредственно рядом с ним. «Правило левой руки» (идти, ведя левой рукой по стенке) будет поиском в глубину, если лабиринт древовидный (нет кружных путей).
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Cormen, 2005, p. 622.
- ↑ Обход в глубину, цвета вершин — Викиконспекты . Дата обращения: 26 июля 2022. Архивировано 2 апреля 2022 года.
- ↑ Если в сторону u→v оно прямое, то ранее его прошли в сторону v→u как обратное. Если в сторону u→v оно перекрёстное, его должны были пройти v→u как ребро дерева.
- ↑ Cormen, 2005, с. 628—629.
Литература
[править | править код]- Левитин А. В. Глава 5. Метод уменьшения размера задачи: Поиск в глубину // Алгоритмы. Введение в разработку и анализ — М.: Вильямс, 2006. — С. 212—215. — 576 с. — ISBN 978-5-8459-0987-9
- Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Глава 22. Элементарные алгоритмы для работы с графами // Алгоритмы: построение и анализ(второе издание). — М.: «Вильямс», 2005. — С. 622—632.
Ссылки
[править | править код]- ВКИ НГУ: Методы программирования. Обходы графа.
- СпбГУ ИТМО, Факультет информационных технологий и программирования: Дискретная математика. Алгоритмы. Обход графа в глубину.
- Реализация поиска в глубину и различные задачи, решаемые с его помощью (сайт e-maxx.ru)
- Поиск в глубину
- Обход в глубину, цвета вершин — Викиконспекты ИТМО
Для улучшения этой статьи желательно:
|