Поиск в глубину

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Порядок обхода дерева в глубину

Поиск в глубину (англ. Depth-first search, DFS) — один из методов обхода графа. Стратегия поиска в глубину, как и следует из названия, состоит в том, чтобы идти «вглубь» графа, насколько это возможно. Алгоритм поиска описывается рекурсивно: перебираем все исходящие из рассматриваемой вершины рёбра. Если ребро ведёт в вершину, которая не была рассмотрена ранее, то запускаем алгоритм от этой нерассмотренной вершины, а после возвращаемся и продолжаем перебирать рёбра. Возврат происходит в том случае, если в рассматриваемой вершине не осталось рёбер, которые ведут в нерассмотренную вершину. Если после завершения алгоритма не все вершины были рассмотрены, то необходимо запустить алгоритм от одной из нерассмотренных вершин[1].

Алгоритм поиска в глубину

[править | править код]

Пусть задан граф , где  — множество вершин графа,  — множество ребер графа. Предположим, что в начальный момент времени все вершины графа окрашены в белый цвет. Выполним следующие действия:

  1. Пройдём по всем вершинам .
    • Если вершина белая, выполним для неё DFS(v).

Процедура DFS (параметр — вершина )

  1. Перекрашиваем вершину в серый цвет.
  2. Для всякой вершины , смежной с вершиной и окрашенной в белый цвет, рекурсивно выполняем процедуру DFS(w)[2].
  3. Перекрашиваем вершину в чёрный цвет.

Часто используют двухцветные метки — без серого, на 1-м шаге красят сразу в чёрный цвет.

Нерекурсивные варианты

[править | править код]

На больших графах поиск в глубину серьёзно нагружает стек вызовов. Если есть риск переполнения стека, используют нерекурсивные варианты поиска.

Первый вариант, простейший, но дающий немалый объём стека — до |E|.

  1. Кладём в стек первую вершину.
  2. Пока стек не пуст, берём верхнюю вершину, не извлекая.
    1. Если вершина белая…
      1. Красим в серый цвет.
      2. Кладём в стек всех её белых соседок в порядке, обратном порядку обхода (если таковой важен).
    2. Если вершина серая, красим в чёрный и извлекаем.
    3. Если вершина чёрная, просто извлекаем.

Если хватает двухцветных меток…

  1. Кладём в стек первую вершину.
  2. Пока стек не пуст, извлекаем верхнюю вершину. Если она белая…
    1. Красим в чёрный цвет.
    2. Кладём в стек всех её белых соседок в порядке, обратном порядку обхода.

Второй вариант: можно представить стек вызова программно: для каждой из серых вершин в стеке будет храниться её номер и номер текущей смежной вершины .

Процедура DFS (параметр — вершина )

  1. Кладём в стек пару . Перекрашиваем вершину в серый цвет.
  2. Пока стек не пуст…
    1. Берём верхнюю пару , не извлекая её из стека.
    2. Находим вершину , смежную с и следующую за .
      1. Если таковой нет, извлекаем из стека, перекрашиваем вершину в чёрный цвет.
      2. В противном случае присваиваем , прямо в стеке.
        • Если к тому же вершина белая, кладём на стек пару , перекрашиваем в серый цвет.

Третий вариант: можно в каждой из «серых» вершин держать текущее и указатель на предыдущую (ту, из которой пришли).

Поиск в глубину с метками времени. Классификация рёбер

[править | править код]
Поиск в глубину с метками времени. Порядок выбора рёбер — слева направо.

Для каждой из вершин установим два числа — «время» входа и «время» выхода .

Модифицируем процедуру DFS так.

  1. Увеличиваем «текущее время» на 1. .
  2. Перекрашиваем вершину в серый цвет.
  3. Для всякой вершины , смежной с вершиной и окрашенной в белый цвет, выполняем процедуру DFS(v).
  4. Перекрашиваем вершину в чёрный цвет.
  5. Увеличиваем «текущее время» на 1. .

Считаем, что граф ориентированный. Очевидно, для любой вершины, из которой мы не вышли в момент t, . Также невозможно скрёстное неравенство: . Просматриваемые на шаге 3 дуги uv могут быть:

  • . В момент выполнения шага 3 (обозначенный как t) вершина v белая. В таком случае мы для вершины v исполняем DFS, а дуга называется дугой дерева поиска.
  • . В момент t вершина v чёрная, сравнение entry говорит, что в v попали из u. Такая дуга называется прямой.
  • . В момент t вершина v также чёрная, но сравнение entry говорит, что в v попали в обход u. Такая дуга называется перекрёстной.
  • . В момент t вершина v серая, то есть в u попали из v. Имеем дело с обратной дугой.

Рёбра неориентированного графа могут быть рёбрами дерева и обратными, но не прямыми и перекрёстными.[3] Чтобы различать рёбра неориентированного графа, достаточно указанных выше трёх- или двухцветных отметок. Ребро, идущее в белую вершину,— ребро дерева. В серую (чёрную в двухцветном варианте) — обратное. В чёрную — такого не бывает.[4]

Алгоритм Косарайю требует сортировки вершин в обратном порядке по времени выхода. Метка входа и типы рёбер нужны в алгоритмах поиска точек сочленения и мостов. Метки выхода в обратном порядке — топологический порядок вершин.

Применение

[править | править код]

Поиск в глубину ограниченно применяется как собственно поиск, чаще всего на древовидных структурах: когда расстояние между точками мало́, поиск в глубину может «плутать» где-то далеко.

Зато поиск в глубину — хороший инструмент для исследования топологических свойств графов. Например:

Поиск в глубину — естественный выбор, когда агент (человек или робот) лично ходит по лабиринту и видит то, что непосредственно рядом с ним. «Правило левой руки» (идти, ведя левой рукой по стенке) будет поиском в глубину, если лабиринт древовидный (нет кружных путей).

Примечания

[править | править код]
  1. Cormen, 2005, p. 622.
  2. Обход в глубину, цвета вершин — Викиконспекты. Дата обращения: 26 июля 2022. Архивировано 2 апреля 2022 года.
  3. Если в сторону u→v оно прямое, то ранее его прошли в сторону v→u как обратное. Если в сторону u→v оно перекрёстное, его должны были пройти v→u как ребро дерева.
  4. Cormen, 2005, с. 628—629.

Литература

[править | править код]
  • Левитин А. В. Глава 5. Метод уменьшения размера задачи: Поиск в глубину // Алгоритмы. Введение в разработку и анализМ.: Вильямс, 2006. — С. 212—215. — 576 с. — ISBN 978-5-8459-0987-9
  • Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Глава 22. Элементарные алгоритмы для работы с графами // Алгоритмы: построение и анализ(второе издание). — М.: «Вильямс», 2005. — С. 622—632.