Поток векторного поля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Пото́к ве́кторного по́ля — термин, используемый в математике для двух различных понятий:

  • фазовый потокпоток векторного поля — однопараметрическое семейство диффеоморфизмов , определяемых дифференциальным уравнением .

Ниже представлено первое из названных понятий (второму посвящена отдельная статья).

Поток векторного поля через поверхность

[править | править код]

Поток векторного поля через поверхностьповерхностный интеграл второго рода по поверхности . По определению,

,

где — векторное поле (вектор-функция векторного аргумента — точки пространства), единичный вектор положительной нормали к поверхности (положительное направление выбирается для ориентируемой поверхности условно, но одинаково для всех точек — то есть для дифференцируемой поверхности — так, чтобы было непрерывно; для неориентируемой поверхности это не важно, так как поток через неё всегда ноль), — элемент поверхности.

В трёхмерном случае , а поверхностью является обычная двумерная поверхность.

Иногда применяется обозначение

.

тогда поток записывается в виде

.

Размерность потока — это размерность величины , домноженная на квадратный метр (в СИ).

Некоторые физические примеры

[править | править код]
Из гидродинамики

Пусть движение несжимаемой жидкости единичной плотности в пространстве задано векторным полем скорости течения . Тогда объём жидкости, который протечёт за единицу времени через поверхность , будет равен потоку векторного поля .

Если плотность равна , то масса жидкости, которая протечёт за единицу времени через поверхность будет равна потоку величины :

.
Из электродинамики

В основных уравнениях электродинамики — уравнениях Максвелла — фигурируют потоки вектора электрической индукции и вектора магнитной индукции

и .

А именно, эти потоки, если они вычислены для замкнутой поверхности, равны заряду внутри поверхности:

и ,

где электрический заряд, а поток вектора нулевой, так как магнитные заряды не существуют.

Ещё пример из электродинамики. Электрический ток представляет собой поток векторного поля плотности тока:

через поперечное сечение токоведущего проводника.

О понятии плотности потока

Если векторным полем , поток которого вычисляется, характеризуется перенос какой-либо скалярной величины (например, массы в примере с жидкостью или заряда в примере с током; другие возможные случаи — перенос энергии, перенос спина), то такое поле в данном контексте называется плотностью потока. В таких случаях имеет структуру , где обозначает плотность переносимой величины (массы в кг/м3, заряда в Кл3, энергии в Дж3 и т.д.), а — скорость переноса. Если не переносится ничего (как для потока , ), подобное название не имеет смысла.

Кочин Н. Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, М.: "Наука", 1965, §14