Ребро (геометрия)

Три ребра AB, BC и CA, каждое из которых соединяет две вершины треугольника.	Многоугольник, ограниченный рёбрами (в данном случае — квадрат, имеющий 4 ребра).
Каждое ребро является общим для двух граней многогранника, в данном случае, куба.	Любое ребро является общим для трёх и более граней четырёхмерного многогранника, как видно на этой проекции тессеракта.

Ребро в геометрии — отрезок, соединяющий две вершины многоугольника или многогранника (в размерностях 3 и выше). В многоугольниках ребро является отрезком, лежащим на границе и чаще называется стороной многоугольника. В трёхмерных многогранниках и в многогранниках большей размерности ребро — это отрезок, общий для двух граней. Отрезок, соединяющий две вершины и проходящий через внутренние или внешние точки, ребром не является и называется диагональю.

Связь с рёбрами графа

Любой многогранник может быть представлен его рёберным скелетом, то есть графом, вершинами которого служат геометрические вершины многогранника, а рёбра графа соответствуют геометрическим рёбрам. И обратно, графы, являющиеся скелетами трёхмерных многогранников по теореме Штайница — то же самое, что вершинно k-связные планарные графы.

Число рёбер в многограннике

Любая поверхность выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику

$V-E+F=2,$

где $V$ — число вершин, $E$ — число рёбер, а $F$ — число граней. Это равенство известно как формула Эйлера. Таким образом, число рёбер на 2 меньше суммы числа вершин и граней. Например, куб имеет 8 вершин и 6 граней, а потому (по формуле) 12 рёбер.

Инцидентность другим граням

В многоугольнике в каждой вершине сходятся два ребра (стороны). По теореме Балинского по меньшей мере $d$ рёбер сходятся в каждой вершине $d$-мерного выпуклого многогранника. Аналогично, в трёхмерном многограннике в точности две двумерные грани имеют общее ребро, в то время как в многогранниках более высоких размерностей общее ребро могут иметь три и более двумерных граней.

Альтернативная терминология

В теории выпуклых многогранников высоких размерностей (свыше 3) фасета (сторона $d$-мерного многогранника) — это $(d-1)$-мерная грань. Таким образом, рёбра (стороны) многоугольника являются также фасетами (для трёхмерных многогранников фасетами будут грани).

См. также

• Продолжение стороны

Ссылки

• Olshevsky, George. «Edge». Glossary for Hyperspace. Архивировано с оригинала 4 февраля 2007.
• Weisstein, Eric W. Polygonal edge (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Polyhedral edge (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.