Субдифференциал

Субдифференциал функции f, заданной на банаховом пространстве E — это один из способов обобщить понятие производной на произвольные функции. Хотя при его использовании приходится пожертвовать однозначностью отображения (значения субдифференциала в общем случае — множества, а не отдельные точки), он оказывается довольно удобным: любая выпуклая функция оказывается субдифференцируемой на всей области определения. В тех случаях, когда о дифференцируемости функции заранее ничего не известно, это оказывается существенным преимуществом.

Кроме того, субдифференциал (при довольно слабых ограничениях на функцию) по своим свойствам во многом подобен обычной производной. В частности, для дифференцируемой функции они совпадают, а для недифференцируемой он оказывается как бы «множеством возможных производных» в данной точке. Значения субдифференциала являются выпуклыми подмножествами сопряженного пространства E*.

Определение

Субдифференциалом $\partial f(x_{0})$ выпуклой функции $f\colon E\rightarrow \mathbb {R}$ в точке $x_{0}$ называется множество, состоящее из всех линейных функционалов $p\in E^{*}$, удовлетворяющих для всех $x\in E$ неравенству

$p(x-x_{0})\leq f(x)-f(x_{0})$.

Функция $f(x)$ называется субдифференцируемой в точке $x_{0}$, если множество $\partial f(x_{0})$ непусто.

Вектор $p\in E^{*}$, принадлежащий субдифференциалу $\partial f(x_{0})$, называется субградиентом функции $f(x)$ в точке $x_{0}$.

Свойства

• $\partial f(x_{0})$ — выпуклое (возможно пустое) множество в $E^{*}$

Пусть f₁(x), f₂(x) — выпуклые конечные функции, причем одна из них непрерывна в точке x, $\lambda \geq 0$, тогда

• $\partial \left(f_{1}(x)+f_{2}(x)\right)=\partial \left(f_{1}(x)\right)+\partial \left(f_{2}(x)\right)$, сумма понимается в смысле суммы Минковского.

• $\partial \left(\lambda f_{1}(x)\right)=\lambda \partial f_{1}(x)$

• Если функция $f:E\rightarrow \mathbb {R}$ выпукла и непрерывна в точке $x\in E$, то она субдифференцируема в этой точке $x\in E$, то есть $\partial f(x)\neq \varnothing$, и её субдифференциал $\partial f(x)$ является множеством компактным и выпуклым

• Пусть функция $f:E\rightarrow \mathbb {R}$ выпукла и конечна. В этом случае функция $f(x)$ дифференцируема по Гато в точке $x_{0}\in E$ тогда и только тогда, когда её субдифференциал в этой точке состоит из единственного вектора $\partial f(x_{0})=\left\{{\frac {\partial f(x_{0})}{\partial x}}\right\}$

• Функция имеет локальный минимум в точке тогда и только тогда, когда 0 принадлежит субдифференциалу в этой точке.

• Если последовательность выпуклых функций $f_{n}$ сходится поточечно к выпуклой функции $f$, то для любой сходящейся последовательности $p_{n}\in \partial _{x_{0}}f_{n}$ её предел $p=\lim _{n\to \infty }p_{n}$ принадлежит субдифференциалу $\partial _{x_{0}}f$.

Субдифференциал функции на одномерном интервале

Пример

Выпуклая функция (синяя) и "подкасательные" к её графику в точке $x_{0}$ (красные).

Пусть $f:I\to \mathbb {R}$ — вещественнозначная выпуклая функция, определённая на принадлежащем прямой открытом интервале. Такая функция может быть дифференцируема не во всех точках. Например, функция $f(x)=|x|$ недифференцируема при $x=0$. Однако, как это можно видеть на графике, расположенном справа , для всякого $x_{0}$ из области определения через точку $(x_{0},f(x_{0}))$ может быть проведена прямая, которая либо касается графика функции $f(x)$, либо располагается под этим графиком. Допустимые наклоны таких прямых образуют то, что именуется субдифференциалом.

Определение

Субпроизводная выпуклой функции $f:I\to \mathbb {R}$ в точке $x_{0}$ на открытом интервале $I$ — это вещественное число $c$, такое, что $$f(x)-f(x_{0})\geq c(x-x_{0})$$ для всех $x\in I$. По теореме, обратной теореме о среднем значении, для выпуклой функции множество субпроизводных в точке $x_{0}$ — непустой замкнутый промежуток $[a,b]$, где $a$ и $b$ — односторонние пределы $$a=\lim _{x\to x_{0}^{-}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}},$$ $$b=\lim _{x\to x_{0}^{+}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}.$$ Множество $[a,b]$ всех субпроизводных называют субдифференциалом функции $f$ в точке $x_{0}$. Субдифференциал обозначают $\partial f(x_{0})$. Если функция $f$ выпукла, то её субдифференциал в любой точке не пуст. Более того, если её субдифференциал в точке $x_{0}$ содержит ровно одну субпроизводную,, то $\partial f(x_{0})=\{f'(x_{0})\}$ и функция $f$ дифференцируема в точке $x_{0}$.

Ссылки

• Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с — ISBN 5-9221-0499-3.
• Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal Fundamentals of Convex Analysis. — Springer, 2001. ISBN 3-540-42205-6.