Теорема Коши — Ковалевской

Теорема Коши — Ковалевской — теорема о существовании и единственности локального решения задачи Коши для дифференциального уравнения в частных производных. Теорема Ковалевской является одной из основных и наиболее часто используемых теорем в теории уравнений с частными производными: теорема Хольмгрена о единственности решения задачи Коши, теоремы существования решения задачи Коши для гиперболических уравнений, теория разрешимости линейных уравнений используют теорему Ковалевской.

Формулировка

Рассмотрим пространство $\mathbb {R} ^{n+1}$. Точку пространства $\mathbb {R} ^{n+1}$ будем обозначать через $(x,t)=(x_{1},...,x_{n},t)$, а точку, принадлежащую $\mathbb {R} ^{n}$, через $x=(x_{1},...,x_{n})$. Обозначим оператор частного дифференцирования

$L\equiv \left({\frac {d}{dt}}\right)^{m}+\sum _{|\nu |+j\leqslant m,j\leqslant m-1}a_{\nu ,j}(x,t)\left({\frac {d}{dx}}\right)^{\nu }\left({\frac {d}{dt}}\right)^{j}.$

Предположим, что коэффициенты оператора $L$ определены в окрестности $U$ начала координат в пространстве переменных $(x,t)$ и являются аналитическими функциями. Пусть функция $f$ также аналитична в $U$. Пусть вектор $\Psi$ начальных данных является аналитическим в некоторой окрестности начала координат $x$ — пространства. Тогда существуют окрестность $W$ начала координат и единственная аналитическая функция $u(x,t)$, определённая в $W$, для которой

$Lu=f,(x,t){\mathcal {2}}W,\left({\frac {d}{dt}}\right)^{j}u(x,0)=u_{j}(x),x{\mathcal {2}}W\cap {\mathcal {f}}t=0{\mathcal {g}}\qquad (j=0,1,2,...,m-1).\qquad (1)$

Доказательство

Положим

${\tilde {u}}(x,t)=u(x,t)-\sum _{j=0}^{m-1}{\frac {t^{j}}{j!}}u_{j}(x).$

Тогда из $(1)$ вытекает, что

$L[{\tilde {u}}]=f-\sum _{j=0}^{m-1}L\left[{\frac {t^{j}}{j!}}u_{j}(x)\right].$

Поэтому, не теряя общности, можно предположить, что начальные данные для $u(x,t)$ равны нулю. Перепишем $(1)$ в виде

$\left({\frac {d}{dt}}\right)^{m}u(x,t)=\sum _{j=0}^{m-1}\alpha _{j}(x,t;{\frac {d}{dx}})\left({\frac {d}{dt}}\right)^{j}u(x,t)+f(x,t),\qquad (2)$

где ${\alpha }_{j}(x,t;{\xi })$ — полином по $\xi$ степени $m-j$, коэффициенты которого аналитичны в окрестности $U$ начала координат. Легко видеть, что коэффициенты $c_{\nu ,j}$ разложения в ряд Тейлора

$u(x,t)=\sum _{j\geqslant m;\nu }c_{\nu ,j}x^{\nu }t^{j}\qquad (3)$

определяются однозначно уравнением $(2)$ и начальными условиями. Дальше доказывается сходимость ряда $(3)$.

Для доказательства сходимости ряда $(3)$ используются мажорантные ряды и полиномы. Функция $F(x,t)$ называется мажорантным рядом для $f(x,t)$ в начале координат, если она является аналитической в этой точке и коэффициенты $C_{\mu ,j}$ её разложения в ряд Тейлора больше или равны абсолютным значениям соответствующих коэффициентов $c_{\mu ,j}$ разложения функции $f(x,t)$ в ряд Тейлора, то есть $C_{\mu ,j}\geqslant |c_{\mu ,j}|$.

История

Теорема была представлена С.В. Ковалевской в Геттингенский университет вместе с двумя другими работами в качестве докторской диссертации в 1874 году.

См. также

• Задача Коши
• Теорема Хольмгрена

Литература

• C. Мизохата Теория уравнений с частными производными, М., Мир, 1977, 504 стр.
• О.А. Олейник Теорема С.В. Ковалевской и современная теория уравнений с частными производными // Соросовский образовательный журнал, 1997, № 8, стр. 117