Точка Нагеля

Точка Нагеля
N — точка Нагеля треугольника ABC
Барицентрические координаты	$-a+b+c:a-b+c:a+b-c$
Трилинейные координаты	${\frac {-a+b+c}{a}}:{\frac {a-b+c}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}$
Код ЭЦТ	X(8)
Связанные точки
Изотомически сопряженная	точка Жергона
Дополнительная	центр вписанной окружности
Медиафайлы на Викискладе

Точка Нагеля — точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями.

Обычно обозначается $N$.

Свойства

Прямая Нагеля. $I$ — инцентр, $M$ — центроид, $S$ — центр Шпикера, $N$ — точка Нагеля.

• Точка Нагеля лежит на одной прямой с инцентром и центроидом, при этом центроид делит отрезок между точкой Нагеля и инцентром в отношении 2 : 1. Эта прямая называется прямой Нагеля (см. рисунок).
• Если точки $T_{A}\in BC$, $T_{B}\in CA$, $T_{C}\in AB$ таковы, что каждый из отрезков $AT_{A}$, $BT_{B}$ и $CT_{C}$ делит периметр треугольника пополам, то эти отрезки пересекаются в одной точке — точке Нагеля.
• Точка Нагеля изотомически сопряжена точке Жергонна.
• Точка Нагеля изогонально сопряжена с центром положительной гомотетии вписанной и описанной окружности (точка Веррьера).
• Расстояние между ортоцентром $H$ и точкой Нагеля $N$ равно диаметру окружности Фурмана и равно

$NH=2R{\sqrt {\frac {a^{3}-a^{2}b-ab^{2}+b^{3}-a^{2}c+3abc-b^{2}c-ac^{2}+c^{3}}{abc}}}$.

• Половине этого расстояния равно расстояние между центром описанной окружности и инцентром.
• Чевиану точки Нагеля в английской литературе иногда называют сплиттером (splitter) или делителем пополам периметра. К сплиттеру они относят и кливер треугольника.
• Инцентр данного треугольника является точкой Нагеля треугольника, образованного его 3 средними линиями (серединного треугольника).
• Слабая точка в треугольнике (weak point) та, у которой может найтись близнец с помощью её ортогонального сопряжения за пределы треугольника. Например, инцентр, точка Нагеля и другие являются слабыми точками, ибо допускают получение аналогичных точек при их сопряжении за пределы треугольника..

Треугольник Нагеля

* Треугольник Нагеля (см. рис. выше) для треугольника $ABC$ определяется вершинами $T_{A}$, $T_{B}$ и $T_{C}$, которые являются точками касания вневписанных окружностей треугольника $ABC$ и точка $T_{A}$ противоположна стороне $A$, и т. д.

Свойства

• Описанная вокруг треугольника $T_{A}T_{B}T_{C}$ окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта).
• Три прямые $AT_{A}$, $BT_{B}$ и $CT_{C}$ делят периметр пополам и пересекаются в одной точке Нагеля $N$ — X(8).
• Перпендикуляры, восстановленные в трех вершинах треугольника Нагеля к сторонам основного треугольника (то есть в точках касания вневписанных окружностей со сторонами основного треугольника), пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности.
• Анимацию построения точки Нагеля см. на рис.

Анимация построения точки Нагеля

Замечание

Точка Нагеля относится к слабым точкам. Поэтому следует говорить не об одной, а о нескольких точках Нагеля. То есть, соединение других точек касания вневписанных окружностей с вершинами треугольника дает ещё три точки Нагеля.

История

Названа по имени Христиана Генриха фон Нагеля, впервые охарактеризовавшего её в статье 1836 г.

См. также

• Вписанная окружность
• Вписанная и вневписанные в треугольник окружности
• Замечательные точки треугольника
• Описанная окружность
• Треугольник точек касания вневписанных окружностей
• Точка Жергонна

Ссылки

• Точка Нагеля, живой чертёж
• М. Б. Балк, В. Г. Болтянский Геометрия масс. М.: Наука, 1987. 160 с. Тираж 145000 экз. Серия Библиотечка «Квант», выпуск 61