Уравнение Фишера (математика)

Уравнение Фишера (англ. Fisher's equation, также известно как уравнение Колмогорова — Петровского — Пискунова, уравнение КПП или уравнение Фишера — КПП) — нелинейное уравнение в частных производных второго порядка:

${\frac {\partial w}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+aw(1-w).$

История

Уравнение названо в честь статистика и биолога Рональда Эйлмера Фишера, предложившего его в 1937 году в контексте популяционной динамики для описания пространственного распределения выгодных аллелей и нашедшего его решение в виде бегущей волны.

Применение

Уравнение Фишера встречается в задачах тепло- и массообмена, теории горения, биологии и экологии, в физике плазмы и задачах теории фазовых переходов. Оно описывает, например, массоперенос в двухкомпонентной неподвижной смеси при наличии объемной химической реакции квазипервого порядка. Кинетическая функция $f(w)=aw(1-w)$ моделирует также автокаталитическое цепное превращение в теории горения.

Решения

Для скорости волны $c\geq 2{\sqrt {a}}$ уравнение допускает решения в виде бегущей волны $w(x,t)=w(x\pm ct)=w(z)$, причем $\lim _{z\rightarrow -\infty }=0,\lim _{z\rightarrow +\infty }=1$. Форма решений уникальна для каждой длины волны. Для $c<2{\sqrt {a}}$ таких решений не существует.

В случае скорости $c=\pm {\frac {5}{\sqrt {6}}}$ могут быть получены следующие точные решения:

$w(z)=\left[\pm 1+C\exp(\mp {\frac {z}{\sqrt {6}}})\right]^{-2},$

$w(z)={\frac {1+2C\exp(\mp {\frac {z}{\sqrt {6}}})}{\left[1+C\exp(\mp {\frac {z}{\sqrt {6}}})\right]^{2}}},$

где $C$ — произвольная постоянная.