Уравнения Ефименко

Уравне́ния Ефиме́нко описывают поведение электрического и магнитного поля в терминах запаздывающих источников. Объединённые с уравнением непрерывности, уравнения Ефименко эквивалентны уравнениям Максвелла электромагнетизма. Названы в честь Олега Ефименко.

Объяснение

Электрическое поле $\mathbf {E}$ и магнитное поле $\mathbf {B}$ задаются в терминах плотности заряда $\rho$ и плотности тока $\mathbf {J}$ как

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\left(\rho (\mathbf {r'} ,t_{r}){\frac {\mathbf {R} }{R^{3}}}+{\frac {\partial \rho (\mathbf {r'} ,t_{r})}{\partial t}}{\frac {\mathbf {R} }{R^{2}c}}-{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t_{r})}{\partial t}}{\frac {1}{R\,c^{2}}}\right)\operatorname {d} ^{3}\mathbf {r'} },$

$\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\left(\mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t_{r})\times {\frac {\mathbf {R} }{R^{3}}}+{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t_{r})}{\partial t}}\times {\frac {\mathbf {R} }{R^{2}c}}\right)\operatorname {d} ^{3}\mathbf {r'} },$

где $\mathbf {R} =\mathbf {r} -\mathbf {r'}$, и $t_{r}=t-{\frac {R}{c}}$ (запаздывающее время), $\epsilon _{0}$ — электрическая постоянная, $\mu _{0}$ — магнитная постоянная.