Формализм Джонса

Формализм Джонса — математический аппарат для анализа поляризации световой волны, в котором поляризация задается так называемыми векторами Джонса, а линейные оптические элементы — матрицами Джонса^[1]. Формализм предложил 1941 Роберт Кларк Джонс. Формализм Джонса применим для полностью поляризованного света, для неполяризованного или частично поляризованного света нужно использовать формализм Мюллера.

Вектор Джонса

Вектор Джонса описывает поляризацию света в пустоте или другой однородной изотропной среде при отсутствии поглощения, там где свет можно описать поперечной электромагнитной волной. Пусть плоская волна распространяется в положительном направлении вдоль оси z и имеет циклическую частоту ω и волновой вектор k = (0,0,k), где волновое число k = ω/c. Тогда электрическое и магнитное поля (E и H) ортогональных к k в каждой точке; то есть лежат в плоскости, поперечной относительно направления движения. Более того, H определяется с E поворотом на 90 градусов и умножением на определённый коэффициент, зависящий от системы единиц и волнового импеданса среды. Поэтому при изучении поляризации достаточно сосредоточиться на E. Комплексная амплитуда E записывается

{\begin{pmatrix}E_{x}(t)\\E_{y}(t)\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i(kz-\omega t+\phi _{x})}\\E_{0y}e^{i(kz-\omega t+\phi _{y})}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\\0\end{pmatrix}}e^{i(kz-\omega t)}

.

Физическое значение E определяется действительной частью этого вектора, а комплексный множитель описывает фазу волны.

Тогда вектор Джонса определяется как:

{\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}\;.

Итак вектор Джонса сохраняет информацию об амплитуде и фазе x и y компонент поля.

Сумма квадратов абсолютных значений двух компонент вектора Джонса пропорциональна интенсивности света. Обычно её нормируют на единицу в той точке, откуда начинается расчёт. Обычно также предполагается, что первая компонента вектора Джонса является действительным числом. В этом случае отбрасывается информация о совместной фазе, которая, впрочем, необходима для расчёта интерференции с другими пучками.

Векторы и матрицы Джонса обозначаются так, что фаза волны задается $\phi =kz-\omega t$ . При таком определении увеличению $\phi _{x}$ (или $\phi _{y}$ ) соответствует отставание по фазе, а уменьшению — опережение. Например, компонента вектора Джонса $i$ ( $=e^{i\pi /2}$ ) указывает на отставание на $\pi /2$ (или 90 градусов) по сравнению с 1. Применяется и другая конвенция ( $\phi =\omega t-kz$ ), поэтому читателю следует быть внимательным.

Следующая таблица содержит 6 популярных примеров вектора Джонса:

Поляризация света	Вектор Джонса	Типовое кет-обозначение
Линейно поляризованный по x привычное название — горизонтальная	${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$	$\|H\rangle$
Линейно поляризованный по y привычное название — вертикальная	${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$	$\|V\rangle$
Линейно поляризованный под углом 45° к оси x привычное название — диагональная L+45	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$	$\|D\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\|H\rangle +\|V\rangle )$
Линейно поляризованный под углом −45° к оси x привычное название — антидиагональная L-45	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$	$\|A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\|H\rangle -\|V\rangle )$
Круговая поляризация по часовой стрелке привычное название — RCP или RHCP	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}$	$\|R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\|H\rangle -i\|V\rangle )$
Круговая поляризация против часовой стрелки привычное название — LCP или LHCP	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\+i\end{pmatrix}}$	$\|L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\|H\rangle +i\|V\rangle )$

В общем случае любой вектор можно записать в кет-нотации как $|\psi \rangle$ . Применяя сферу Пуанкаре (известную также как сфера Блоха), базовые кет-векторы ( $|0\rangle$ и $|1\rangle$ ) должны обозначать противоположные кет-векторы из перечисленных пар. Например, можно обозначить $|0\rangle$ = $|H\rangle$ и $|1\rangle$ = $|V\rangle$ . Выбор здесь произвольный. Противоположные пары:

$|H\rangle$ и $|V\rangle$
$|D\rangle$ и $|A\rangle$
$|R\rangle$ и $|L\rangle$

Матрицы Джонса

Матрицами Джонса называют операторы, действующие на векторы Джонса. Их определяют для различных оптических элементов: линз, делителей пучков, зеркал и так далее. Каждая матрица является проекцией на одномерное комплексное пространство векторов Джонса. В следующей таблице приведены примеры матриц Джонса для поляризаторов:

Оптический элемент	Матрица Джонса
Линейный [[]]поляризатор с горизонтальной осью пропускания^[1]	${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$
Линейный поляризатор с вертикальной осью пропускания^[1]	${\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}$
Линейный поляризатор с осью пропускания под углом ±45° к горизонтальной^[1]	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&\pm 1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}$
Правозакрученный круговой поляризатор^[1]	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}}$
Левозакрученный круговой поляризатор^[1]	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-i\\i&1\end{pmatrix}}$

Манипулирование фазой

Фазовые преобразователи вносят изменение в разность фаз между вертикальной и горизонтальной поляризациями, управляя так поляризацией пучка. Обычно их изготавливают из одноосных кристаллов с двойным лучепреломлением, таких как кальцит, MgF ₂ или кварц . Одноосные кристаллы имеют одну из кристаллических осей, отличную от двух других (то есть, n_i ≠ n_j = n_k). Эту ось называют необычным или оптической. Оптическая ось может быть быстрой или медленной, в зависимости от кристалла. Свет распространяется с высокой фазовой скоростью вдоль оси с наименьшим показателем преломления, и эту ось называют быстрой. Аналогично, ось с наибольшим показателем преломления называется медленной. "Негативные" одноосные кристаллы (например, кальцит CaCO _3, сапфир Al₂O₃) имеют n_e <n_o, поэтому для этих кристаллов необычная (оптическое) ось является быстрой, тогда как "положительные" одноосные кристаллы (например, кварц SiO₂, фторид магния MgF₂, рутил TiO₂) имеют n_e>n_o, и необычная ось у них медленная.

Преобразователь фазы с быстрой осью, совпадающей с осями x или y, имеет нулевые недиагональные члены, а потому его можно отобразить матрицей

{\begin{pmatrix}e^{i\phi _{x}}&0\\0&e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}

где $\phi _{x}$ и $\phi _{y}$ — фазы электрического поля в направлениях x и y, соответственно. В этих обозначениях $\phi =kz-\omega t$ задает относительную фазу между двумя волнами как $\epsilon =\phi _{y}-\phi _{x}$ . Тогда положительное значение $\epsilon$ (то есть $\phi _{y}$ > $\phi _{x}$ ) означает, что $E_{y}$ не будет иметь то же значение, что $E_{x}$ еще некоторое время, то есть $E_{x}$ впереди $E_{y}$ . Аналогично, если $\epsilon <0$ , то $E_{y}$ опережает $E_{x}$ . Например, если быстрая ось четвертьволновой пластинки горизонтальная, то фазовая скорость горизонтальной поляризации будет опережать фазовую скорость вертикальной поляризации, то есть $E_{x}$ впереди $E_{y}$ . Если $\phi _{x}<\phi _{y}$ , что для четвертьволнового пластинки дает $\phi _{y}=\phi _{x}+\pi /2$ .

Альтернативное обозначение для фазы:: $\phi =\omega t-kz$ , определяет относительную фазу как $\epsilon =\phi _{x}-\phi _{y}$ . Тогда $\epsilon >0$ означает, что $E_{y}$ еще некоторое время не будет того же значения, $E_{x}$ , тогда $E_{x}$ опережает $E_{y}$ .

Элемент	Матрица Джонса
Четвертьволновая пластинка с вертикальной быстрой осью ^[2] ^[3]	$e^{i\pi /4}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-i\end{pmatrix}}$
Четвертьволновая пластинка с горизонтальной быстрой осью	$e^{i\pi /4}{\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}}$
Четвертьволновая пластинка с быстрой осью под углом $\theta$ к горизонтальной оси	$e^{-i\pi /4}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +i\sin ^{2}\theta &(1-i)\sin \theta \cos \theta \\(1-i)\sin \theta \cos \theta &\sin ^{2}\theta +i\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}$
Полуволновая пластинка с быстрой осью под углом $\theta$ к горизонтальной оси ^[4]	$e^{-i\pi /2}{\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{pmatrix}}$
Произвольный материал с двойным преломлением (как фазовый преобразователь) ^[5]	${\begin{pmatrix}e^{i\eta /2}\cos ^{2}\theta +e^{-i\eta /2}\sin ^{2}\theta &(e^{i\eta /2}-e^{-i\eta /2})e^{-i\phi }\cos \theta \sin \theta \\(e^{i\eta /2}-e^{-i\eta /2})e^{i\phi }\cos \theta \sin \theta &e^{i\eta /2}\sin ^{2}\theta +e^{-i\eta /2}\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}$

Примечания

↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Fowles, G. Introduction to Modern Optics (неопр.). — 2nd. — Dover, 1989. — С. 35.
↑ ¹ ² Hecht, E. Optics (неопр.). — 4th. — 2001. — С. 378. — ISBN 0805385665.
↑ Множитель $e^{i\pi /4}$ появляется только тогда, когда фазы заданы симметрично, то есть $\phi _{x}=-\phi _{y}=\pi /4$ . Такое определение использует книга ^[2], но не книга ^[1].
↑ Gerald, A. Introduction to Matrix Methods in Optics (неопр.). — 1st. — 1975. — ISBN 0471296856.
↑ Obtainment of the polarizing and retardation parameters of a non-depolarizing optical system from the polar decomposition of its Mueller matrix, Optik, Jose Jorge Gill and Eusebio Bernabeu,76, 67-71 (1987).

[fowles-1] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Fowles, G. Introduction to Modern Optics (неопр.). — 2nd. — Dover, 1989. — С. 35.

[hecht-2] ¹ ² Hecht, E. Optics (неопр.). — 4th. — 2001. — С. 378. — ISBN 0805385665.

[3] Множитель $e^{i\pi /4}$ появляется только тогда, когда фазы заданы симметрично, то есть $\phi _{x}=-\phi _{y}=\pi /4$ . Такое определение использует книга ^[2], но не книга ^[1].

[4] Gerald, A. Introduction to Matrix Methods in Optics (неопр.). — 1st. — 1975. — ISBN 0471296856.

[5] Obtainment of the polarizing and retardation parameters of a non-depolarizing optical system from the polar decomposition of its Mueller matrix, Optik, Jose Jorge Gill and Eusebio Bernabeu,76, 67-71 (1987).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Формализм Джонса

Содержание

Вектор Джонса

Матрицы Джонса

Манипулирование фазой

Примечания

Навигация

Формализм Джонса

Вектор Джонса

Матрицы Джонса

Манипулирование фазой

Примечания

Навигация

Поиск