Функция Минковского

Не следует путать с функционалом Минковского.

Функция Минковского

Функция «вопросительный знак» Минковского — построенная Германом Минковским монотонная сингулярная функция $?(x)$ на отрезке $[0,1]$, обладающая рядом замечательных свойств. Так, она взаимно-однозначно и с сохранением порядка переводит квадратичные иррациональности (то есть, числа вида $a+{\sqrt {b}},$ где $a$ и $b$ рациональные) на отрезке $[0,1]$ в рациональные числа на том же отрезке, а рациональные числа — в двоично-рациональные. Она связана с рядами Фарея, цепными дробями, и дробно-линейными преобразованиями, а её график обладает рядом интересных симметрий.

Построение

Функция Минковского может быть задана несколькими эквивалентными способами: через ряды Фарея, через цепные дроби, и построением графика с помощью последовательных итераций.

Задание с помощью дерева Штерна — Броко

В концах отрезка функция Минковского задаётся как $?(0)=0$ и $?(1)=1$. После этого для любых двух рациональных чисел ${\frac {a}{b}}$ и ${\frac {c}{d}}$, для которых $ad-bc=1$ — иными словами, для любых двух последовательных в каком-либо из рядов Фарея, — функция в их медианте ${\frac {a+c}{b+d}}$ определяется как среднее арифметическое значений в этих точках:

$?\left({\frac {a+c}{b+d}}\right)={\frac {1}{2}}\left[?\left({\frac {a}{b}}\right)+{}?\left({\frac {c}{d}}\right)\right].$

Так

$?\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {?(0)+{}?(1)}{2}}={\frac {1}{2}},$

$?\left({\frac {1}{3}}\right)={\frac {?(0)+{}?(1/2)}{2}}={\frac {1}{4}},$

$?\left({\frac {2}{3}}\right)={\frac {?(1/2)+{}?(1)}{2}}={\frac {3}{4}}$

и так далее.

Поскольку последовательности

${\frac {0}{1}},{\frac {1}{1}},$

${\frac {0}{1}},{\frac {1}{2}},{\frac {1}{1}},$

${\frac {0}{1}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {1}{1}},$

в которых следующая получается из предыдущей дописыванием между каждыми соседними её элементами их медианты, перечисляют в объединении все рациональные числа отрезка $[0,1]$ (см. дерево Штерна — Броко), такая итеративная процедура задаёт функцию Минковского во всех рациональных точках $[0,1]$. Более того, как несложно видеть, множеством её значений в этих точках оказываются в точности все двоично-рациональные числа $[0,1]$ — иными словами, плотное в $[0,1]$ множество. Поэтому построенная функция по монотонности однозначно продолжается до непрерывной функции $?\colon [0,1]\to [0,1]$, и это и есть функция Минковского.

Задание с помощью цепной дроби

Функция Минковского, в определённом смысле, преобразует разложение в цепную дробь в представление в двоичной системе счисления. А именно, точку $x\in [0,1]$, раскладывающуюся в цепную дробь как $x=[0;a_{1},a_{2},\ldots ]$, функция Минковского переводит в

$?(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{2^{a_{1}+\ldots +a_{k}-1}}}.$

Иными словами, точка

$x={\frac {1}{a_{1}+{\dfrac {1}{a_{2}+{\dfrac {1}{a_{3}+\ldots }}}}}}$

переходит в точку

$?(x)=0{,}\underbrace {0\ldots 0} _{a_{1}-1}\underbrace {1\ldots 1} _{a_{2}}\underbrace {0\ldots 0} _{a_{3}}\underbrace {1\ldots 1} _{a_{4}}\ldots _{(2)}.$

Самоподобие

Пусть точка $x\in [0,1]$ задаётся цепной дробью $x=[0;a_{1},a_{2},\ldots ]$. Тогда увеличение $a_{1}$ на единицу, то есть, переход к $y=[0;a_{1}+1,a_{2},\ldots ]$ задаётся отображением

$f\colon x\mapsto y={\frac {1}{1+{\dfrac {1}{x}}}}={\frac {x}{1+x}},$

а функция Минковского после такого преобразования делится (как это следует из её задания через цепную дробь аргумента) пополам:

$?\left({\frac {x}{1+x}}\right)={\frac {?(x)}{2}}.\qquad (1)$

С другой стороны, из симметрии относительно $1/2$ медиантной конструкции легко видеть, что

$?(1-x)=1-{}?(x).\qquad (2)$

Сопрягая (1) с помощью (2), видим, что под действием отображения $g(x)=1-f(1-x)=1-{\frac {1-x}{2-x}}={\frac {1}{2-x}}$ функция Минковского преобразуется как

$?\left({\frac {1}{2-x}}\right)={\frac {1+{}?(x)}{2}}.$

Поэтому график функции Минковского переводится в себя каждым из преобразований

$F(x,t)=\left({\frac {x}{1+x}},{\frac {t}{2}}\right),\quad G(x,t)=\left({\frac {1}{2-x}},{\frac {1+t}{2}}\right).\qquad (3)$

Более того, объединение их образов — это в точности весь исходный график, поскольку образ $F$ — это часть графика над отрезком $[0,1/2]$, а образ $G$ — график над отрезком $[1/2,1]$.

Построение графика как фрактала

График функции Минковского может быть построен как предельное множество для системы итерируемых функций. А именно, отображения $F$ и $G$, заданные формулами (3), сохраняют график функции Минковского и переводят единичный квадрат внутрь себя. Поэтому последовательность множеств $X_{n}$, определённая рекурсивно соотношениями

$X_{0}=[0,1]\times [0,1],\quad X_{n+1}=F(X_{n})\cup G(X_{n}),$

есть убывающая по вложению последовательность множеств, причём график $\Gamma ={\big \{}{\big (}x,?(x){\big )}\mid x\in [0,1]{\big \}}$ функции Минковского содержится в любом из них.

Несложно увидеть, что $X_{n}$ является объединением прямоугольников высоты $1/2^{n}$, поэтому предельное множество

$X_{\infty }=\bigcap _{n}X_{n}$

является графиком некоторой функции. Поскольку $\Gamma \subset X_{\infty }$, то они совпадают. Поэтому график функции Минковского это предельное множество системы итерируемых функций

$F,G:[0,1]^{2}\to [0,1]^{2}.$

Свойства

• Функция Минковского сингулярна, то есть в почти любой (по мере Лебега) точке $x\in [0,1]$ её производная существует и равна нулю. Тем самым, мера на $[0,1]$, функцией распределения которой является функция Минковского (продолженная нулём на отрицательные числа и единицей на большие единицы), сингулярна.
• Функция Минковского взаимно однозначно переводит рациональные числа на отрезке $[0,1]$ в двоично-рациональные числа на том же отрезке.
• Функция Минковского взаимно однозначно переводит квадратичные иррациональности на отрезке $[0,1]$ в рациональные числа на том же отрезке. Действительно, число $x$ является квадратичной иррациональностью тогда и только тогда, когда его разложение в цепную дробь, начиная с некоторого момента, периодично; с другой стороны, эта периодичность равносильна периодичности двоичной записи образа — иными словами, рациональности $?(x)$.
• График функции Минковского переводится в себя отображениями $F$ и $G$, заданными (3), а, следовательно, и их композициями.

Литература

• Minkowski H. Verhandlungen des III. internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg. — Berlin, 1904.
• Denjoy A. Sur une fonction réelle de Minkowski. — Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1938. — 17. — pp. 105—151.
• Conley, R. M. (2003), A Survey of the Minkowski ?(x) Function, Masters thesis, West Virginia University, ссылка.
• Conway, J. H. (2000), "Contorted fractions", On Numbers and Games (2nd ed.), Wellesley, MA: A K Peters, pp. 82—86.
• Кириллов А. А. Повесть о двух фракталах. — М.: МЦНМО, 2009.

См. также

• Канторова лестница

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Minkowski's Question Mark Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.