Числа Лагранжа
Числа Лагранжа — это последовательность чисел, которые появляются в границах, связанных с приближением иррациональных чисел рациональными. Числа связаны с теоремой Гурвица.
Определение
[править | править код]Гурвиц улучшил критерий Дирихле иррациональности до утверждения, что вещественное число α иррационально тогда и только тогда, когда существует бесконечно много рациональных чисел p/q, (в несократимом виде), таких, что
У Дирихле в правой части стояло 1/q2. Вышеприведённый результат является наилучшим, поскольку золотое сечение φ является иррациональным, но если мы заменим √5 любым бо́льшим числом в вышеприведённом выражении, мы получим только конечное количество рациональных чисел, удовлетворяющих неравенству для α = φ.
Гурвиц, однако, показал, что если мы исключим φ и производные от него числа, мы можем увеличить число √5. Фактически он показал, что мы можем заменить его на 2√2. Снова, это новое число является наилучшим возможным при новых условиях и на этот раз становится проблемным число √2. Если мы запрещаем √2, мы можем увеличить число в правой части неравенства с 2√2 до √221/5. Повторяя этот процесс, получим бесконечную последовательность √5, 2√2, √221/5, ..., сходящуюся к 3[1]. Эти числа называются числами Лагранжа[2] по имени французского математика Жозефа Луи Лагранжа.
Связь с числами Маркова
[править | править код]Число Лагранжа с номером n, Ln, задаётся формулой
- ,
где mn — n-ое число Маркова[3], являющееся наименьшим n-м целым m, таким, что уравнение
имеет решение для целых положительных чисел x и y.
Примечания
[править | править код]- ↑ Cassels, 1957, с. 14.
- ↑ Conway, Guy, 1996, с. 187-189.
- ↑ Cassels, 1957, с. 41.
Литература
[править | править код]- Cassels J.W.S. An introduction to Diophantine approximation. — Cambridge University Press, 1957. — Т. 45. — (Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics).
- Conway J.H., Guy R.K. The Book of Numbers. — New York: Springer-Verlag, 1996. — ISBN 0-387-97993-X.
Ссылки
[править | править код]- Lagrange number. From MathWorld at Wolfram Research.
- Introduction to Diophantine methods irrationality and transcendence — Online lecture notes by Michel Waldschmidt, Lagrange Numbers on pp. 24–26.
Для улучшения этой статьи желательно:
|