Начинал свою карьеру в родном клубе из города Фалун. В 17 лет его заприметили селекционеры клуба «МОДО» и пригласили его к себе. В 1979 году Юнссон стал чемпионом Швеции. В 1981 году защитник отправился в НХЛ. В первом же своём сезоне он выиграл Кубок Стэнли в составе «Нью-Йорк Айлендерс», а в следующем сезоне сделал это ещё раз. Всего за американский коллектив Юнссон отыграл 8 сезонов. В 1989 году он отыграл 20 игр за «Эдмонтон Ойлерз», после чего вернулся на родину. С 1989 по 1998 годы Юнссон защищал цвета скромного «Лександа». Именно из этого клуба защитник получил вызов в сборную на Олимпийские игры1994 года, которые стали для шведов победными. Завершил карьеру игрок в своём родном «Фалуне», в составе которого он провёл прощальный матч. В 2000 году был включён в Зал славы ИИХФ.
Достаточно быстро Юнссон переквалифицировался в тренеры. С 1998 по 2000 годы он был ассистентом главного тренера «Лександа». Затем он работал в различных юношеских сборных Швеции, параллельно долгие годы возглавляя «Фалун». С 2009 по 2013 год Юнссон входил в тренерский штаб сборной Дании. Туда его пригласил возглавивший команду известный шведский специалист Пер Бекман. Некоторое время Юнссон совмещал работу в сборной с работой главного тренера в датском «Эсбьерге».
Медиафайлы на Викискладе
.svg){kind=small}
