Arkus kosinus
Osnovne osobine Parnost neparna Domen [-1,1] Kodomen [0,π] Specifične vrednosti Nule 1 Vrednost u -1 π Vrednost u 0 π/2 Vrednost u 1 0 Specifične osobine Prevoji (0,π/2) Ulazak u nulu pod uglom -π/4
Arkus kosinus je funkcija inverzna kosinusnoj funkciji na intervalu [0,π] njenog domena. Koristi se za određivanje veličine ugla u ovom opsegu kada je poznata vrednost njegovog kosinusa.
Slede neke od formula koje se vezuju za arkus kosinus:
arccos
−
x
=
π
2
−
arcsin
x
{\displaystyle \arccos {-x}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin {x}}
arccos
−
x
=
π
−
arccos
x
{\displaystyle \arccos {-x}=\pi -\arccos {x}}
arccos
x
=
arcsin
1
−
x
2
,
{\displaystyle \arccos x=\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},}
0
≤
x
≤
1
{\displaystyle \ 0\leq x\leq 1}
arccos
1
x
=
a
r
c
s
e
c
x
{\displaystyle \arccos {\frac {1}{x}}=arcsec{x}}
Preko formule za polovinu ugla se dobija i:
arccos
x
=
2
arctan
1
−
x
2
1
+
x
,
{\displaystyle \arccos x=2\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}},}
−
1
<
x
≤
+
1
{\displaystyle -1<x\leq +1}
Izvod:
d
d
x
arccos
x
=
−
1
1
−
x
2
;
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos x{}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}};\qquad |x|<1}
Predstavljanje u formi integrala:
arccos
x
=
∫
x
1
1
1
−
z
2
d
z
,
|
x
|
≤
1
{\displaystyle \arccos x{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1}
Predstavljanje u formi beskonačne sume:
arccos
z
=
π
2
−
arcsin
z
=
π
2
−
(
z
+
(
1
2
)
z
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
z
5
5
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
z
7
7
+
⋯
)
=
π
2
−
∑
n
=
0
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
z
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
;
|
z
|
≤
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}
