Tetivni štirikotnik

Tetivni štirikotnik

Tetivni štirikotnik

Tetivni štírikótnik ali tetivni četverokótnik je v ravninski geometriji štirikotnik, katerega vsa oglišča ležijo na isti krožnici, oziroma, ki ima očrtano krožnico. Njegove stranice so tetive te krožnice. Oglišča so sokrožna.

Splošne značilnosti

V tetivnem štirikotniku sta nasprotna notranja kota suplementarna, oziroma štirikotnik je tetiven, če je vsota nasprotnih kotov enaka 180°:

$\alpha +\gamma =180^{\circ },\quad \beta +\delta =180^{\circ }\!\,.$

To dejstvo izhaja iz izreka o obodnem kotu. Velja enako, vsak zunanji kot je enak nasprotnemu notranjemu kotu.

Za tetivni štirikotnike velja Ptolemajev izrek: produkt dolžin njegovih diagonal je enak vsoti produktov po dveh nasprotnih stranic:

$ef=ac+bd\!\,.$

V vsakem konveksnem štirikotniku dve diagonali skupaj razdelita štirikotnik v štiri trikotnike; v tetivnem štirikotniku sta nasprotna para teh trikotnikov med seboj podobna. Če sta diagonali pravokotni, in je s tem štirikotnik ortodiagonalen, velja Brahmaguptov izrek.

Posebni primeri

Kvadrat, pravokotnik ali enakokraki trapez so tetivni štirikotniki, paralelogram pa v splošnem ni.

Obseg

Obseg tetivnega štirikotnika je skupna dolžina vseh stranic:

$o=a+b+c+d\!\,.$

Ploščina

Za dane stranice tetivnega štirikotnika je njegova ploščina p podana z Brahmaguptovo enačbo:

$p={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}\!\,,$

kjer je s polobseg:

$s={\frac {a+b+c+d}{2}}\!\,.$

Ploščina je podana tudi s polmerom očrtane krožnice R in diagonalama e ali f:

$p=\,{\frac {e(ab+cd)}{4R}}={\frac {f(ad+bc)}{4R}}\!\,.$

Od vseh štirikotnikov z danimi stranicami a, b, c in d ima tetivni štirikotnik največjo ploščino.

Druge značilnosti

Dolžini diagonal sta dani z:

$e={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}\!\,,$

$f={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}}\!\,.$

Polmer očrtane krožnice R tetivnega štirikotnika je:

$R={\frac {1}{4p}}{\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}\!\,.$

Glej tudi

• tangentni štirikotnik
• bicentrični štirikotnik

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Cyclic Quadrilateral«. MathWorld.