Enotska sfera

Enotska sfera je v matematiki množica točk na razdalji 1 od središčne točke, To lahko enostavno povemo tudi, da je enotska sfera tista sfera, ki ima polmer enak 1.

Podobno lahko definiramo, da je enotska krogla množica točk, ki so na razdalji manjši ali enaki 1 od stalne središčne točke. Tako lahko govorimo o enotski sferi (površina) in enotski krogli (telo), Pomen enotske sfere je v tem, da lahko vsako sfero pretvorimo v enotsko sfero z uporabo translacije in skaliranja,

Definicija

Naj bo $(X,||.||)\,$ normirani vektorski prostor. V tem primeru imenujemo množico točk, katerih oddaljenost od ničelne točke je manjša od 1, odprta enotska sfera v $X\,$ , kar lahko zapišemo kot

B_{X}:=\{x\in X:\|x\|<1\}\,

.

Pri tem pa lahko označimo z

{\overline {B_{X}}}:=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}

zaprto enotsko sfero v $X\,$ in

\partial B_{X}:=\{x\in X:\|x\|=1\}

je enotska sfera v

X\,

.

Evklidski prostor

V Evklidskem prostoru, ki ima $n\,$ razsežnosti, je enotska sfera množica točk $(x_{1},\dots ,x_{n})\,$ , ki zadoščajo enačbi

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1

,

množica toč, ki pa zadošča neenačbi

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq 1,

pa je enotska krogla.

Površina in prostornina

Označimo z $V_{n}\,$ prostornino enotske sfere v $n\,$ razsežnem prostoru. S $P_{n}\,$ pa označimo površino krogle.

Prostornina krogle je enaka

V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\begin{cases}{\pi ^{n/2}}/{(n/2)!}&\mathrm {kadar\quad je\quad } n\geq 0\mathrm {\quad } {in\quad paren,}\\~\\{\pi ^{\lfloor n/2\rfloor }2^{\lceil n/2\rceil }}/{n!!}&\mathrm {kadar\quad je} \quad n\geq 0\mathrm {\quad } {in\quad neparen,}\end{cases}}

kjer je

$\Gamma (z)\,$ funkcija gama
$n!!\,$ dvojna fakulteta

Hipervolumen $n-1\,$ razsežne enotske sfere, to je površina $n\,$ razsežne enotske krogle, ki ga označimo z $P_{n}\,$ lahko zapišemo kot

A_{n}=nV_{n}={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}\,,

kjer zadnja enačba velja samo za n > 0.

Površine in prostornine za nekatere vrednosti $n\,$ so

$n$	$P_{n}$ (površina)		$V_{n}$ (prostornina)
0	$0(1/0!)\pi ^{0}$	0,000	$(1/0!)\pi ^{0}$	1,000
1	$1(2^{1}/1!!)\pi ^{0}$	2,000	$(2^{1}/1!!)\pi ^{0}$	2,000
2	$2(1/1!)\pi ^{1}=2\pi$	6,283	$(1/1!)\pi ^{1}=\pi$	3,142
3	$3(2^{2}/3!!)\pi ^{1}=4\pi$	12,57	$(2^{2}/3!!)\pi ^{1}=(4/3)\pi$	4,189
4	$4(1/2!)\pi ^{2}=2\pi ^{2}$	19,74	$(1/2!)\pi ^{2}=(1/2)\pi ^{2}$	4,935
5	$5(2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/3)\pi ^{2}$	26,32	$(2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/15)\pi ^{2}$	5,264
6	$6(1/3!)\pi ^{3}=\pi ^{3}$	31,01	$(1/3!)\pi ^{3}=(1/6)\pi ^{3}$	5,168
7	$7(2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/15)\pi ^{3}$	33,07	$(2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/105)\pi ^{3}$	4,725
8	$8(1/4!)\pi ^{4}=(1/3)\pi ^{4}$	32,47	$(1/4!)\pi ^{4}=(1/24)\pi ^{4}$	4,059
9	$9(2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/105)\pi ^{4}$	29,69	$(2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/945)\pi ^{4}$	3,299
10	$10(1/5!)\pi ^{5}=(1/12)\pi ^{5}$	25,50	$(1/5!)\pi ^{5}=(1/120)\pi ^{5}$	2,550

Rekurzija

Vrednosti $P_{n}\,$ za površino zadoščajo rekurziji

P_{0}=0

P_{1}=2

P_{2}=2\pi

P_{n}={\frac {2\pi }{n-2}}P_{n-2}

za

n>2

.

Vrednosti za prostornino $V_{n}\,$ pa zadoščajo rekurziji

V_{0}=1

V_{1}=2

V_{n}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}

za

n>1

.

Površina $n-1\,$ razsežne sfere s polmerom $r\,$ je enaka $A_{n}r^{n-1}\,$ ( $A_{n}\,$ je površina). Prostornina $n\,$ razsežne krogle s polmerom $r\,$ pa je $V_{n}r^{n}\,$ . Primer: Površina trirazsežne krogle s polmerom $r\,$ je $A=4\pi r^{2}\,$ . Prostornina pa je $V=4\pi r^{3}/3\,$ .