Optično podvajanje frekvenc

Optično podvajanje frekvenc je nelinearen optični pojav, pri katerem na snov svetimo s svetlobo s frekvenco $\omega$, iz snovi pa dobimo tudi svetlobo z dvakratno frekvenco $2\omega$ oz. polovično valovno dolžino. Ta pojav je le poseben primer splošnejšega pojava, pri katerem vpada na snov valovanje z različnima frekvencama $\omega _{1}$ in $\omega _{2}$, pri izstopu pa dobimo tudi svetlobo s frekvenco enako vsoti $\omega _{1}+\omega _{2}$ oziroma razliki vstopnih frekvenc $|\omega _{1}-\omega _{2}|$.

Shematični prikaz optičnega podvajanja frekvenc.

Optično podvajanje frekvenc so prvi opazili P. A. Franken, A. E. Hill, C. W.Peters in G. Weinreich z Univerze v Michiganu, ZDA leta 1961. Fokusiran laserski snop z valovno dolžino 694 nm so poslali na vzorec SiO₂. S spektrometrom so pri procesu zaznali nastajanje svetlobe z valovno dolžino 347 nm. Njihova zgodba je prerasla v mit, ker je pred objavo urednik revije Physical Review Letters signal pri valovni dolžini 347 nm zamenjal za smet in ga retuširal s fotografskega papirja.

Pogoji za nastanek

Če snov postavimo v zunanje električno polje, se polarizira, saj se naboji znotraj snovi izmaknejo iz svojih ravnovesnih leg. V primeru podvajanja frekvenc je izvor električnega polja kar svetloba, s katero svetimo na snov. Do pojava podvajanja frekvenc pride le, če polarizacija snovi ni linearno odvisna od električne poljske jakosti svetlobe, ampak so pomembni tudi višji členi v razvoju. Zaradi tega pravimo, da je to nelinearen optičen pojav.

Če polarizacijo snovi razvijemo po potencah zunanjega električnega polja, ki jo povzroča

$P_{i}=\epsilon _{0}\chi _{ij}^{(1)}E_{j}+\epsilon _{0}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}$

bo predfaktor pri linearnem členu - optična susceptibilnost 1. reda $\chi _{ij}^{(1)}$ - veliko večja od predfaktorja pri kvadratičnem členu - $\chi _{ij}^{(2)}$. Zaradi tega bomo nelinearne pojave opazili šele, ko bo električno polje, ki ga povzoča svetloba, dovolj veliko. Kot izvor tako močne svetlobe zato uporabimo laser.

Vrednosti $\chi _{ij}^{(2)}$ so odvisne od simetrije snovi. Tako je pri centrosimetričnih kristalih (ki pri inverziji koordinatnega sistema enako izgledajo) $\chi _{ij}^{(2)}=0$ in pri njih podvajanja frekvenc ne bomo opazili.

Tudi če svetimo na necentrosimetrični kristal, v splošnem svetlobe s podvojeno frekvenco ne bomo dobili. Njena intenziteta bo odvisna od smeri vpadne svetlobe glede na kristal.

Intenziteta svetlobe s podvojeno frekvenco

Optimalna smer vpadne svetlobe je tista, pri kateri dobimo največjo intenziteto svetlobe s podvojeno frekvenco. Kako se električna poljska jakost svetlobe spreminja v kristalu, opišemo z valovno enačbo

$\nabla ^{2}\mathbf {E} -{\frac {\epsilon }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {P} _{NL}}{\partial t^{2}}},\quad P_{NLi}=\epsilon _{0}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}$

kjer je $\mathbf {P} _{NL}$ nelinearni del polarizacije, električno polje $\mathbf {E}$ pa je vsota prispevkov svetlobe vseh frekvenc, ki se razširjajo po kristalu. Za primer, ko na kristal vpada svetloba s frekvencama $\omega _{1}$ in $\omega _{2}$ in iz kristala izhaja še svetloba frekvence $\omega _{3}=\omega _{1}+\omega _{2}$, bi polje v kristalu zapisali kot:

$\mathbf {E} =\mathbf {A_{1}} cos(\mathbf {k} _{1}\mathbf {r} -\omega _{1}t)+\mathbf {A_{2}} cos(\mathbf {k} _{2}\mathbf {r} -\omega _{2}t)+\mathbf {A_{3}} cos(\mathbf {k} _{3}\mathbf {r} -\omega _{3}t)$

pri čemer so $k_{1},k_{2},k_{3}$ valovni vektorji prisotnega svetlobnega valovanja.

Ob predpostavki, da se amplitudi vhodne svetlobe $A_{1}$ in $A_{2}$ le malo spreminjata, lahko z reševanjem gornje valovne enačbe izračunamo, kakšna bo amplituda svetlobe s frekvenco, ki je enaka vsoti vhodnih. Dobimo, da je moč te novonastale svetlobe $P_{3}$ sorazmerna:

$P_{3}\propto |A_{3}|^{2}\propto L^{2}\chi ^{2}|A_{1}|^{2}|A_{2}|^{2}\ {\frac {\sin ^{2}(\Delta kL/2)}{(\Delta k)^{2}}}$

kjer je $L$ dolžina poti svetlobe skozi kristal, $\chi$ efektivna susceptibilnost, določena s tenzorjem susceptibilnosti kot

$\chi =\sum _{ijk}\chi _{ijk}\mathbf {e} _{3i}\mathbf {e} _{1j}\mathbf {e} _{2k}$

(vektorji $e_{a}$ so enotski vektorji v smeri razširjanja svetlobe s frekvenco $\omega _{a}$) in

$\Delta k=k_{1}+k_{2}-k_{3}$.

Intenziteta podvojene svetlobe bo največja, ko bo $\chi$ največji in $\Delta k=0$. Ta dva pogoja nam določata izbrane smeri, v katerih sta izpoljnjena.

Ko opazujemo podvojevanje frekvence, ki je le poseben primer tega, velja $\omega _{1}=\omega _{2}$.

Ujemanje faz

Graf rednih in izrednih lomnih količnikov za redno in izredno vhodno in frekvenčno podvojeno svetlobo z označenim kotom $\vartheta$, ki ustreza ujemanju faz 1. vrste. V tem primeru sta vhodni svetlobi (označeno z w1,w2) izredno polarizirani, izhodna podvojena svetloba (označeno z w3) pa je redno polarizirana

Graf rednih in izrednih lomnih količnikov za redno in izredno vhodno in frekvenčno podvojeno svetlobo z označenim kotom $\vartheta$, ki ustreza ujemanju faz 2. vrste. V tem primeru sta vhodni svetlobi redno (označeno z w1) in izredno (označeno z w2) polarizirani, izhodna podvojena svetloba pa je redno polarizirana (označeno z w3)

Iz izraza za moč izhodne frekvenčno podvojene svetlobe vidimo, da bo intenziteta nastale svetlobe največja v primerih, ko velja $\Delta k=0$. Ta pojav imenujemo ujemanje faz. Določa nam, v katerih smereh glede na kristal moramo svetiti, da bomo dobili največ podvojene svetlobe. Za optično enoosne kristale ločimo dva tipa ujemanja faz:

• pogoj ujemanja faz 1. vrste: $n_{\omega _{3}}=n_{\omega _{1}}=n_{\omega _{2}}$
• pogoj ujemanja faz 2. vrste: $n_{\omega _{3}}=(n_{\omega _{1}}+n_{\omega _{2}})/2$

kjer $n$ označuje lomni količnik snovi za dano frekvenco in izbrano polarizacijo, $\omega _{1,2}$ ustrezata vhodni svetlobi, $\omega _{3}$ pa podvojeni.

Primer rešitev za ujemanje faz 1. vrste prikazuje zgornja slika na desni. Dosežena je z izenačenjem lomnega količnika izredno polarizirane vhodne svetlobe ter redno polazirirane izhodne svetlobe. Rešitev dobimo v točki, kjer se elipsa (ki ustreza funkcijski obliki lomnega količnika v odvisnosti od vpadnega kota za izredno polarizirano vhodno svetlobo) in krog (ki ustreza funkcijski obliki lomnega količnika v odvisnosti od vpadnega kota za redno polarizirano podvojeno svetlobo) sekata. Funkcijsko obliko za izredni lomni količnik opisuje enačba elipse

${\frac {1}{n^{2}(\vartheta )}}={\frac {\sin ^{2}\vartheta }{n_{e}^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\vartheta }{n_{o}^{2}}}$

kjer sta $n_{e},n_{o}$ velikosti polosi elipse. Za redno polarizirano svetlobo pa je lomni količnih enak $n_{0}$. Iz enakosti, ki so v pogoju 1.vrste, torej dobimo kot $\vartheta$, pod katerim moramo svetiti glede na optično os kristala, da dobimo ujemanje faz.

Rešitev za ujemanje faz 2. vrste prikazuje spodnja slika na desni. Ta je dosežena z izenačenjem povprečja lomnih količnikov redno in izredno polarizirane vhodne svetlobe z redno polazirirano izhodno svetlobo. Že iz slike vidimo, da je ujemanje faz 2. vrste stabilnejše, saj je tudi pri majhnih odstopanjih od optimalnega kota $\vartheta$ pogoj za ujemanje faz še vedno precej dobro izpolnjen.

Da dobimo res največjo možno intenziteto moramo izpolniti še pogoj za maksimalno efektivno susceptibilnost $\chi$.

Uporaba

Podvajanje frekvenc se uporablja:

• v visokoločljivostni optični mikroskopiji, predvsem v biologiji in medicini. Ker podvajanje frekvenc nastopi samo v necetrosimetričnih snoveh, tudi s svetenjem na npr. tkivo, pride do podvajanja frekvnec samo na nekaterih strukturah. Primer take strukture je kolagen. Z uporabo pulznih laserjev in primernih filtrov lahko vzbujevalno svetlobo ločimo od podvojene. To nam omogoča mikroskopijo z resolucijo, boljšo od navadne konfokalne mikroskopije.
• za produkcijo zelene svetlobe iz podvojene infrardeče svetlobe. V industriji se ta mehanizem uporablja za izdelavo 'zelenih' laserskih kazalcev. V primeru, da niso opremljeni z ustreznimi infrardečimi filtri, so lahko potencialno nevarni. Možno je namreč puščanje infrardeče svetlobe, ki ni v vidnem spektru in zato v očesu ne vzbudi signala za mežikanje.
• za pridobivanje monokromatske svetlobe iz nemonokromatske v smereh, v katerih je izpoljeno ujemanje faz. Z vrtenjem kristala v tem primeru lahko dobimo celo izvor spremenljive frekvence.

Viri

• Saleh, B.E.A. & Teich, M.C. (1991). Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons, str. 80-107. ISBN 0-471-83965-5
• Franken, P. & Hill, A. & Peters, C. & Weinreich, G. (1961). "Generation of Optical Harmonics". Physical Review Letters 7: 118.
• Han, M & Giese, G & Bille, J (2005). "Second harmonic generation imaging of collagen fibrils in cornea and sclera". Optics express 13 (15): 5791–7. PMID 19498583.
• Brown, Donald J. & Morishige, Naoyuki & Neekhra, Aneesh & Minckler, Don S. & Jester, James V. (2007). "Application of second harmonic imaging microscopy to assess structural changes in optic nerve head structure ex vivo" Journal of Biomedical Optics 12: 024029

Zunanje povezave

• Parameswaran, K. R., Kurz, J. R., Roussev, M. M. & Fejer, "Observation of 99% pump depletion in single-pass second-harmonic generation in a periodically poled lithium niobate waveguide", Optics Letters, 27, p. 43-45 (January 2002).
• »Frequency doubling«. Encyclopedia of laser physics and technology. Pridobljeno 4. novembra 2006.
• Opozorilo glede nevarnih 'zelenih' laserskih pointerjev Arhivirano 2010-02-13 na Wayback Machine.