Правоугаоник
Правоугаоник | |
---|---|
Тип | четвороугао, трапез, паралелограм, ортотоп |
Ивице и темена | 4 |
Симбол Шлефли | { } × { } |
Дијаграм Кокстера | |
Симетрична група | Диедрална (D2), [2], (*22), order 4 |
Двоструки многоугао | ромб |
Својства | конвексан, изогоналан, цикличан Супротни углови и странице су подударни |
Правоугаоник је четвороугаона геометријска фигура у равни. Спада у класу паралелограма, а следећа два правила важе за сваки правоугаоник: наспрамне странице су по дужини једнаке и паралелне, и суседне странице су нормалне једна на другу (заклапају угао од 90°). Тачан изглед једног правоугаоника је одређен његовом ширином (означено са a на слици десно) и његовом дужином (означено са b на слици десно). Специјалан случај правоугаоника коме су све странице једнаке се назива квадрат.[1][2][3]
Реч правоугаоник потиче од латинског rectangulus, што је комбинација rectus (као придев, усправан, прав) и angulus (угао).
Укрштени правоугаоник је самопресецајући четвороугао који се састоји од две супротне странице правоугаоника заједно са две дијагонале[4] (дакле, само две странице су паралелне). То је посебан случај антипаралелограма, а његови углови нису прави углови и нису сви једнаки, иако су супротни углови једнаки. Друге геометрије, као што су сферна, елиптична и хиперболичка, имају такозване правоугаонике са супротним страницама једнаке дужине и једнаким угловима који нису прави углови.
Карактеризације
[уреди | уреди извор]Конвексни четвороугао је правоугаоник ако и само ако важи једно од следећег:[5][6]
- паралелограм са најмање једним правим углом
- паралелограм са дијагоналама једнаке дужине
- паралелограм ABCD где су троуглови ABD и DCA подударни[7]
- једнакоугаони четвороугао
- четвороугао са четири права угла
- четвороугао где су две дијагонале једнаке по дужини и деле једна другу на пола[8]
- конвексан четвороугао са узастопним страницама a, b, c, d чија је површина .[9]:fn.1
- конвексан четвороугао са узастопним страницама a, b, c, d чија је површина [9]
Формуле
[уреди | уреди извор]- Површина правоугаоника је P = ab
- Обим правоугаоника је O = 2(a+b)
- Полуобим правоугаоника је S = (a+b)
- Углови између страница и дијагонала: φ1 = arctg(b/a) и φ1 = arctg(a/b); φ1 + φ2 = π/2.
- Углови између дијагонала Θ1 = π - 2φ1 и Θ2 = π - 2φ2; Θ1 + Θ2 = π
- r (полупречник описане кружнице) : r =
Дијагонала правоугаоника
[уреди | уреди извор]Дијагонала правоугаоника је дуж која спаја два његова темена која немају ни једну заједничку страницу. Правоугаоник има тачно две дијагонале, и оне су једнаких дужина:
Конструкције правоугаоника
[уреди | уреди извор]Две странице
[уреди | уреди извор]Дате су дужине страница a и b. Једно решење:
- Конструисати дуж AB дужине a.
- У тачки A, нормално на AB, конструисати дуж AD дужине b.
- Повући дуж DB.
- Симетрала тачке A у односу на средиште DB ће бити C.
Уместо корака 3 и 4 може се конструисати дуж BC, дужине a и нормална на AC, тако да угао ABC буде математички негативно оријентисан.
Страница и угао између ње и дијагонале
[уреди | уреди извор]Претпоставимо да су дати страница AB и угао α.
- Конструисати дуж AB
- Из тачке A конструисати полуправу s која са AB заклапа угао α, тако да је угао BAs позитивно оријентисан.
- Из тачке B конструисати нормалу н на AB.
- Пресек n и s обележити као C.
- У A конструисати полуправу n1 нормалну на AB, тако да је угао ABn1 позитивно оријентисан
- У A конструисати круг k полупречника BC.
- Пресек n1 и kје D.
Уколико су дати страница AB и угао β између друге странице ње и дијагонале, угао α је једнак 90° - β.
Страница и дијагонала
[уреди | уреди извор]Ако су дате странца, на пример AB, и дужина дијагонале правоугаоника d, конструкција има следећи ток:
- Конструисати дуж дужине d и назвати јој темена A и C.
- Конструисати круг k1 који за пречник има дуж AC.
- У тачки A конструисати круг k2 полупречника AB.
- Круг k2 ће сећи k1 у две тачке. Једна од ове две треба да добије име B тако да је угао ABC негативно математички оријентисан
- Од B треба повући полуправу кроз средиште AC. Пресек ове полуправе са кругом k1 ће бити тачка D.
Остали правоугаоници
[уреди | уреди извор]У сферној геометрији, сферни правоугаоник је фигура чије су четири ивице велики кружни лукови који се састају под једнаким угловима већим од 90°. Супротни лукови су једнаки по дужини. Површина сфере у еуклидској чврстој геометрији је нееуклидска површина у смислу елиптичке геометрије. Сферна геометрија је најједноставнији облик елиптичке геометрије.
У елиптичкој геометрији, елиптични правоугаоник је фигура у елиптичној равни чије су четири ивице елиптични лукови који се састају под једнаким угловима већим од 90°. Супротни лукови су једнаки по дужини.
У хиперболичној геометрији, хиперболички правоугаоник је фигура у хиперболичној равни чије су четири ивице хиперболички лукови који се састају под једнаким угловима мањим од 90°. Супротни лукови су једнаки по дужини.
Теселације
[уреди | уреди извор]Правоугаоник се користи у многим периодичним обрасцима теселације, у зидању, на пример, овим плочицама:
Наслагана веза |
Текућа веза |
Плетена кошара |
Плетена кошара |
Патерн рибље кости |
Квадратни, савршени и други поплочани правоугаоници
[уреди | уреди извор]За правоугаоник поплочан квадратима, правоугаоницима или троугловима се каже да је правоугаоник „квадратни“, „правоугаони“ или „троугаони“. Поплочани правоугаоник је савршен[10][11] ако су плочице сличне и ограниченог броја и нема две плочице исте величине. Ако су две такве плочице исте величине, плочица је несавршена. У савршеном (или несавршеном) троуглом правоугаонику троуглови морају бити правоугли. База података свих познатих савршених правоугаоника, савршених квадрата и сродних облика може се наћи на squaring.net.[12] Најмањи број квадрата који је потребан за савршено поплочавање правоугаоника је 9,[13] а најмањи број потребан за савршено поплочавање квадрата је 21, пронађен 1978. компјутерском претрагом.[14]
Правоугаоник има самерљиве странице ако и само ако је поплочан коначним бројем неједнаких квадрата.[10] Исто важи и ако су плочице неједнаки једнакокраки правоугли троуглови.
Поплочавање правоугаоника другим плочицама које су привукле највећу пажњу су оне конгруентним неправоугаоним полиомима, дозвољавајући све ротације и рефлексије. Постоје и поплочавања конгруентним полиаболима.[15][16][17]
Јуникод
[уреди | уреди извор]- U+25AC ▬ Црни правугаоник
- U+25AD ▭ Бели правугаоник
- U+25AE ▮ Црни вертикални правоугаоник
- U+25AF ▯ Бели вертикални правоугаоник
Референце
[уреди | уреди извор]- ^ „Archived copy” (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) 2014-05-14. г. Приступљено 2013-06-20.
- ^ Definition of Oblong. Mathsisfun.com. Retrieved 2011-11-13.
- ^ Oblong – Geometry – Math Dictionary. Icoachmath.com. Retrieved 2011-11-13.
- ^ Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M.S.; Miller, J.C.P. (1954). „Uniform polyhedra”. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. The Royal Society. 246 (916): 401—450. ISSN 0080-4614. JSTOR 91532. MR 0062446. S2CID 202575183. doi:10.1098/rsta.1954.0003.
- ^ Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition", Information Age Publishing, 2008, pp. 34–36 ISBN 1-59311-695-0.
- ^ Owen Byer; Felix Lazebnik; Deirdre L. Smeltzer (19. 8. 2010). Methods for Euclidean Geometry. MAA. стр. 53—. ISBN 978-0-88385-763-2. Приступљено 2011-11-13.
- ^ Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Congruent Figures” (PDF). Addison-Wesley. стр. 167. Архивирано из оригинала 29. 10. 2013. г. Приступљено 2. 6. 2017.
- ^ Gerard Venema, "Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra", MAA, 2013, p. 56.
- ^ а б Josefsson Martin (2013). „Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles” (PDF). Forum Geometricorum. 13: 17—21. Архивирано из оригинала (PDF) 24. 03. 2024. г. Приступљено 17. 07. 2022.
- ^ а б R.L. Brooks; C.A.B. Smith; A.H. Stone; W.T. Tutte (1940). „The dissection of rectangles into squares”. Duke Math. J. 7 (1): 312—340. doi:10.1215/S0012-7094-40-00718-9.
- ^ J.D. Skinner II; C.A.B. Smith; W.T. Tutte (новембар 2000). „On the Dissection of Rectangles into Right-Angled Isosceles Triangles”. Journal of Combinatorial Theory, Series B. 80 (2): 277—319. doi:10.1006/jctb.2000.1987 .
- ^ squaring.net
- ^ Sloane, N. J. A. (ур.). „Sequence A219766 (Number of nonsquare simple perfect squared rectangles of order n up to symmetry)”. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ^ „Squared Squares; Perfect Simples, Perfect Compounds and Imperfect Simples”. www.squaring.net. Приступљено 2021-09-26.
- ^ Gardner, Martin (јун 1967). „The polyhex and the polyabolo, polygonal jigsaw puzzle pieces”. Scientific American. 216 (6): 124—132.
- ^ Golomb, Solomon W. (1994). Polyominoes (2nd ed.). Princeton University Press. стр. 101. ISBN 0-691-02444-8.
- ^ Goodman, Jacob E.; O'Rourke, Joseph, ур. (2004). Handbook of Discrete and Computational Geometry (2nd ed.). Chapman & Hall/CRC. стр. 349. ISBN 1-58488-301-4.
Литература
[уреди | уреди извор]- Martin, George Edward (1982), Transformation geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, Theorem 12.1, page 120, ISBN 0-387-90636-3, MR 718119, doi:10.1007/978-1-4612-5680-9
- „Quadrilaterals - Square, Rectangle, Rhombus, Trapezoid, Parallelogram”. Mathsisfun.com. Приступљено 2020-09-02.
- „Sum of Angles in a Polygon”. Cuemath. Приступљено 22. 6. 2022.
- Keady, G.; Scales, P.; Németh, S. Z. (2004). „Watt Linkages and Quadrilaterals”. The Mathematical Gazette. 88 (513): 475—492. S2CID 125102050. doi:10.1017/S0025557200176107.
- Jobbings, A. K. (1997). „Quadric Quadrilaterals”. The Mathematical Gazette. 81 (491): 220—224. JSTOR 3619199. doi:10.2307/3619199.
- Beauregard, R. A. (2009). „Diametric Quadrilaterals with Two Equal Sides”. College Mathematics Journal. 40 (1): 17—21. S2CID 122206817. doi:10.1080/07468342.2009.11922331.
- Hartshorne, R. (2005). Geometry: Euclid and Beyond. Springer. стр. 429—430. ISBN 978-1-4419-3145-0.
- Josefsson, Martin (2013), „Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles” (PDF), Forum Geometricorum, 13: 17—21, Архивирано из оригинала (PDF) 24. 03. 2024. г., Приступљено 17. 07. 2022
- Josefsson, Martin (2012), „Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals” (PDF), Forum Geometricorum, 12: 13—25, Архивирано из оригинала (PDF) 05. 12. 2020. г., Приступљено 17. 07. 2022
- Leonard Mihai Giugiuc; Dao Thanh Oai; Kadir Altintas (2018). „An inequality related to the lengths and area of a convex quadrilateral” (PDF). International Journal of Geometry. 7: 81—86.
- Josefsson, Martin (2014). „Properties of equidiagonal quadrilaterals”. Forum Geometricorum. 14: 129—144. Архивирано из оригинала 05. 06. 2024. г. Приступљено 17. 07. 2022.
- „Inequalities proposed in Crux Mathematicorum (from vol. 1, no. 1 to vol. 4, no. 2 known as "Eureka")” (PDF). Imomath.com. Приступљено 1. 3. 2022.
- Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2010). Charming Proofs : A Journey Into Elegant Mathematics. Mathematical Association of America. стр. 114, 119, 120, 261. ISBN 978-0-88385-348-1.
- John Boris Miller. „Centroid of a quadrilateral” (PDF). Austmd.org.au. Приступљено 1. 3. 2022. <
- Chen, Evan (2016). Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 9780883858394.
- David, Fraivert (2019), „Pascal-points quadrilaterals inscribed in a cyclic quadrilateral”, The Mathematical Gazette, 103 (557), S2CID 233360695, doi:10.1017/mag.2019.54
- David, Fraivert (2019), „A Set of Rectangles Inscribed in an Orthodiagonal Quadrilateral and Defined by Pascal-Points Circles”, Journal for Geometry and Graphics, 23
- David, Fraivert (2017), „Properties of a Pascal points circle in a quadrilateral with perpendicular diagonals” (PDF), Forum Geometricorum, 17: 509—526, Архивирано из оригинала (PDF) 05. 12. 2020. г., Приступљено 17. 07. 2022
- Josefsson, Martin (2013). „Characterizations of Trapezoids” (PDF). Forum Geometricorum. 13: 23—35.[мртва веза]
- Barnett, M. P.; Capitani, J. F. (2006). „Modular chemical geometry and symbolic calculation”. International Journal of Quantum Chemistry. 106 (1): 215—227. Bibcode:2006IJQC..106..215B. doi:10.1002/qua.20807.
- Hamilton, William Rowan (1850). „On Some Results Obtained by the Quaternion Analysis Respecting the Inscription of "Gauche" Polygons in Surfaces of the Second Order” (PDF). Proceedings of the Royal Irish Academy. 4: 380—387.
- Borisov, Alexander; Dickinson, Mark; Hastings, Stuart (март 2010). „A Congruence Problem for Polyhedra”. American Mathematical Monthly. 117 (3): 232—249. S2CID 8166476. arXiv:0811.4197 . doi:10.4169/000298910X480081.
- Creech, Alexa. „A Congruence Problem” (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) 11. 11. 2013. г.
- Franco P. Preparata and Michael Ian Shamos (1985). Computational Geometry – An Introduction. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96131-3. 1st edition: ; 2nd printing, corrected and expanded, 1988.
Спољашње везе
[уреди | уреди извор]- Weisstein, Eric W. „Rectangle”. MathWorld.
- Definition and properties of a rectangle with interactive animation.
- Area of a rectangle with interactive animation.