அரைத்தொடர்ச்சி (கணிதம்)

கணிதத்தில் அரைத்தொடர்ச்சி (semicontinuity) என்பது நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்-மதிப்புச் சார்புகளுக்கான பண்பாகும். ஒரு நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்-மதிப்புச் சார்பு f ஆனது x₀ என்ற புள்ளியில்:

மேல் அரைத் தொடர்ச்சியான சார்பாக இருக்க வேண்டுமெனில், x₀ க்கு அருகில் அமையும் x இன் மதிப்புகளுக்குரிய சார்பின் மதிப்புகள், f(x₀) க்கு நெருக்கமாகவோ அல்லது f(x₀) குறைவாகவோ இருக்க வேண்டும்.

கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியான சார்பாக இருக்க வேண்டுமெனில், x₀ க்கு அருகில் அமையும் x இன் மதிப்புகளுக்குரிய சார்பின் மதிப்புகள், f(x₀) க்கு நெருக்கமாகவோ அல்லது f(x₀) மிகையாகவோ இருக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

மேல் அரைத்தொடர்ச்சியான ஒரு சார்பின் வரைபடம். நிறைவான நீலநிறப் புள்ளி f(x₀) ஐக் குறிக்கிறது.

கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியான சார்பின் வரைபடம். நிறைவான நீலநிறப் புள்ளி f(x₀) ஐக் குறிக்கிறது.

• f, ஒரு துண்டுவாரியான சார்பு. இச்சார்பின் வரையறை:

f(x) = –1, x < 0

f(x) = 1, x ≥ 0.

இச்சார்பு, x₀ = 0 இல் மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானது; ஆனால் கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானது அல்ல.

• ஒரு திறந்த கணத்தின் சுட்டுச் சார்பு கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானதாகவும், ஒரு மூடிய கணத்தின் சுட்டுச் சார்பு மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானதாகவும் இருக்கும்.

• தரப்பட்ட மெய்யெண் x க்குச் சமமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ உள்ள மிகப்பெரிய முழு எண்ணைத் தரும் மீப்பெரு முழுஎண் சார்பு $f(x)=\lfloor x\rfloor$ சார்பு எங்கும் மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானது; தரப்பட்ட மெய்யெண் x க்குச் சமமாகவோ அல்லது மிகையாகவோ உள்ள மிகச் சிறிய முழுஎண்ணைத் தரும் மீச்சிறு முழுஎண் சார்பு $f(x)=\lceil x\rceil$ எங்கும் கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானது.

வலது அல்லது இடது தொடர்ச்சியற்ற சார்புகள், மேல் அல்லது கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானவையாக இருக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

• $f(x)={\begin{cases}1&{\mbox{if }}x<1,\\2&{\mbox{if }}x=1,\\1/2&{\mbox{if }}x>1,\end{cases}}$

இச்சார்பு x = 1 இல் இடது அல்லது வலது தொடர்ச்சியற்றதாக இருப்பினும் மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானது. x = 1 இல் இச்சார்பின் இடப்பக்கமிருந்து எல்லைமதிப்பு 1 ஆகவும், வலப்பக்கமிருந்து அதன் எல்லைமதிப்பு 1/2 ஆகவும், அப்புள்ளியில் சார்பின் மதிப்பு 2 ஆகவும் உள்ளன. அதனால் இச்சார்பு x = 1 இல் இடது அல்லது வலது தொடர்ச்சியற்றது. எனினும் இப்புள்ளியில் மேல் தொடர்ச்சியானது.

• $f(x)={\begin{cases}\sin(1/x)&{\mbox{if }}x\neq 0,\\1&{\mbox{if }}x=0,\end{cases}}$

x = 0 புள்ளியில் இச்சார்புக்கு இடது மற்றும் வலது எல்லை மதிப்புகள் இல்லையென்றாலும் இச்சார்பு மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானது.

முறையான வரையறை

இடவியல் வெளி X இல் ஒரு புள்ளி x₀. f : X → R ∪ {–∞,+∞} ஒரு நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்-மதிப்புச் சார்பு.

மேல் அரைத்தொடர்ச்சி

$f(x_{0})>-\infty$ எனில், $f(x)\leq f(x_{0})+\epsilon ,$ $\forall x\in U\,$

$f(x_{0})=-\infty$எனில், $x\to x_{0}\Rightarrow f(x)\to -\infty \,$

என்றவாறு, ε > 0 இன் ஒவ்வொரு மதிப்பிற்கும் புள்ளி x₀ இற்கு ஒரு அண்மையகம் U இருக்குமானால் இப்புள்ளியில் f மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானதாகும்.

குறிப்பாக ஒரு அளவை வெளிக்கு இதனைப் பின்வருமாறு தரலாம்:

$\limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})$

சார்பு f, தனது ஆட்களத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானதாக இருந்தால்தான் அது மேல் அரைத்தொடர்ச்சியான சார்பாகும். ஒவ்வொரு α ∈ R க்கும் {x ∈ X : f(x) < α} என்ற கணம் திறந்த கணமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அச்சார்பு மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானது.

கீழ் அரைத்தொடர்ச்சி

$f(x_{0})>+\infty$ எனில், $f(x)\geq f(x_{0})+\epsilon ,$ $\forall x\in U\,$

$f(x_{0})=-\infty$எனில், $x\to x_{0}\Rightarrow f(x)\to +\infty \,$

என்றவாறு, ε > 0 இன் ஒவ்வொரு மதிப்பிற்கும் புள்ளி x₀ இற்கு ஒரு அண்மையகம் U இருக்குமானால் இப்புள்ளியில் f கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானதாகும்.

குறிப்பாக ஒரு அளவை வெளிக்கு இதனைப் பின்வருமாறு தரலாம்:

$\liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})$

சார்பு f, தனது ஆட்களத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானதாக இருந்தால்தான் அது மேல் அரைத்தொடர்ச்சியான சார்பாகும். ஒவ்வொரு α ∈ R க்கும் {x ∈ X : f(x) > α} என்ற கணம் மூடிய கணமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அச்சார்பு கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானது.

பண்புகள்

• ஒரு சார்பானது ஒரு புள்ளியில், மேல் மற்றும் கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அது அப்புள்ளியில் தொடர்ச்சியான சார்பாக இருக்கும் என்பதால், சார்பின் தொடர்ச்சித்தன்மையை நிறுவ, அரைத்தொடர்ச்சி பயன்படும்.

• f , g இரண்டும் x₀ எனும் புள்ளியில் மேல் அரைத்தொடர்ச்சியான மெய்-மதிப்புச் சார்புகள் எனில் f + g சார்பும் அவ்வாறே இருக்கும்.
  • இவை இரண்டும் எதிரில்லாச் சார்புகளாக இருந்தால் fg சார்பும் அதே புள்ளியில் மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானதாக இருக்கும்.
  • x₀மேல் அரைத்தொடர்ச்சியான ஒரு நேர்ச் சார்பானது ஒரு எதிர் எண்ணால் பெருக்கப்படும்போது, அச்சார்பு கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானதாக மாறிவிடும்.

• C ஒரு இறுகிய வெளி (compact space) (எடுத்துக்காட்டாக ஒரு மூடிய, வரம்புடைய, இடைவெளி [a, b] ) என்க.

f : C → [–∞,∞) என்பது மேல் அரைத்தொடர்ச்சியான சார்பு எனில், C இல் f க்கு ஒரு பெருமம் இருக்கும்.

f : C → (–∞,∞] என்பது கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியான சார்பு எனில் C இல் f ஒரு சிறுமம் இருக்கும்.

• வெற்றற்ற கணம் I இலுள்ள ஒவ்வொரு i க்கும்

f_i : X → [–∞,∞], ஒரு கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியான சார்பு; மேலும் துண்டுவாரியான மேன்மம் f, கீழுள்ளவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

$f(x)=\sup _{i\in I}f_{i}(x),\qquad x\in X.$

இப்பொழுது f , ஒரு கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியான சார்பு. அனைத்து f_i சார்புகளும் தொடர்ச்சியான சார்புகளாக இருந்தாலும், f தொடர்ச்சியான சார்பாக இருக்க அவசியமில்லை.

ஒரு சீரான வெளியில் அமையும் ஒவ்வொரு கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியான சார்பும் தொடர்ச்சியான சார்புகளின் தொடர்முறை ஒன்றின் மேன்மமாகவே அமைகின்றன.

• • எந்தவொரு திறந்த கணத்தின் சுட்டுச் சார்பும் கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானது; மூடிய கணத்தின் சுட்டுச் சார்பு மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானது.

குவிவு பகுப்பாய்வில் பெரும்பாலும் சுட்டுச் சார்பு என்பது குவிவுப் பகுப்பாய்வின் சிறப்பியல்புச் சார்பையே குறிக்கும் என்பதால் குவிவுப் பகுப்பாய்வில், ஒரு மூடிய கணத்தின் சிறப்பியல்புச் சார்பு கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானதாகவும், ஒரு திறந்த கணத்தின் சிறப்பியல்புச் சார்பு மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானதாகவும் இருக்கும்.

• f : Rⁿ→R சார்பின் வெளிவரைபடம் மூடியதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அச்சார்பு கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானது.

மேற்கோள்கள்

• Bourbaki, Nicolas (1998). Elements of Mathematics: General Topology, 1–4. Springer. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-201-00636-7.
• Bourbaki, Nicolas (1998). Elements of Mathematics: General Topology, 5–10. Springer. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 3-540-64563-2.
• Gelbaum, Bernard R. (2003). Counterexamples in analysis. Dover Publications. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-486-42875-3. {{cite book}}: Unknown parameter |coauthors= ignored (help)
• Hyers, Donald H. (1997). Topics in nonlinear analysis & applications. World Scientific. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 981-02-2534-2. {{cite book}}: Unknown parameter |coauthors= ignored (help)