இயற்கணிதப் பின்னம்

இயற்கணிதப் பின்னம் (algebraic fraction) என்பது இயற்கணிதக் கோவைகளைத் தொகுதியாகவும், பகுதியாகவும் கொண்ட பின்னமாகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$

${\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$

எண்கணிதப் பின்னங்களின் விதிமுறைகளெல்லாம் இயற்கணிதப் பின்னங்களுக்கும் பொருந்தும். ஒரு இயற்கணிதப் பின்னத்தின் தொகுதி, பகுதி இரண்டும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக இருந்தால், அது விகிதமுறு பின்னம் (rational fraction) எனப்படும். எடுத்துக்காட்டாக ${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$ என்பது ஒரு விகிதமுறு பின்னம்; ஆனால் ${\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$ இன் தொகுதி ஒரு வர்க்கமூலச் சார்பாக உள்ளதால் அது ஒரு விகிதமுறு பின்னம் அல்ல.

சொல்லியல்

${\tfrac {a}{b}}$ என்ற இயற்கணிதப் பின்னத்தின் பொதுவடிவில் வகுபடு கோவையான a ஆனது தொகுதி என்றும், வகுக்கும் கோவை b ஆனது பகுதி என்றும், தொகுதி, பகுதி இரண்டும் இயற்கணிதப் பின்னத்தின் உறுப்புகள் எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன.

தொகுதி/பகுதி அல்லது இரண்டையும் பின்னங்களாகக் கொண்டது சிக்கல் பின்னம் (complex fraction). தொகுதியிலும் பகுதியிலும் பின்னங்களைக் கொண்டிராத பின்னம் எளிய பின்னம் ஆகும். தொகுதி, பகுதிகளின் பொதுக்காரணியாக எண் 1 மட்டுமே இருந்தால், அந்த இயற்கணிதப் பின்னமானது சுருக்கிய வடிவ பின்னம் ஆகும்.

பின்ன வடிவில் இல்லாத முழுமைக்கோவைகளை, எண் ஒன்றைப் பகுதியாகக் கொண்ட பின்ன வடிவில் எழுதலாம். ஒன்று அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முழுமைக்கோவைகள் மற்றும் ஒன்று அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பின்னக்கோவைகளின் கூட்டுத் தொகையாக அமைவது கலப்புக் கோவை எனப்படும்.

விகிதமுறு பின்னங்கள்

தொகுதியையும் பகுதியையும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகக் கொண்ட இயற்கணிதப் பின்னமானது விகிதமுறு இயற்கணிதப் பின்னம் அல்லது சுருக்கமாக விகிதமுறு பின்னம் எனப்படும்.

தகு விகிதமுறு பின்னம்

${\tfrac {f(x)}{g(x)}}$ என்ற விகிதமுறு பின்னத்தில் $\deg f(x)<\deg g(x)$ எனில், அது ஒரு தகு விகிதமுறு பின்னம்.

எடுத்துக்காட்டு:

${\tfrac {2x}{x^{2}-1}}$ ஒரு தகு விகிதமுறு பின்னம்

இரு தகு விகிதமுறு பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையானது ஒரு தகு விகிதமுறு பின்னமாக இருக்கும். ஒரு தகு விகிதமுறு பின்னத்தை இரு தகு விகிதமுறு பின்னங்களாகப் பிரிப்பது ”பகுதி பின்னங்களாகப் பிரித்தல்” எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு:

${\frac {2x}{x^{2}-1}}={\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}.$

வலதுபுறமுள்ள இரு தகு விகிதமுறுகோவைகளும் இடப்புறமுள்ள கோவையின் பகுதி பின்னங்கள் ஆகும்.

தகா விகிதமுறு பின்னம்

${\tfrac {f(x)}{g(x)}}$ என்ற விகிதமுறு பின்னத்தில் $\deg f(x)>\deg g(x)$ எனில், அது ஒரு தகா விகிதமுறு பின்னம்.

எடுத்துக்காட்டு:

${\tfrac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}$

${\tfrac {x^{2}-x+1}{5x^{2}+3}}$ இவை இரண்டும் தகா விகிதமுறு பின்னங்கள் ஆகும்.

எந்தவொரு தகா விகிதமுறு பின்னத்தையும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும் ஒரு தகு விகிதமுறுகோவையின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

${\frac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}=(x+6)+{\frac {24x-35}{x^{2}-5x+6}}$

விகிதமுறா பின்னங்கள்

ஒரு இயற்கணிதப் பின்னத்தின் பகுதி அல்லது தொகுதியாக அமையும் கோவைகளின் உறுப்புகளில், மாறியானது பின்ன அடுக்கு கொண்டிருக்குமானால் அந்த பின்னம் விகிதமுறா பின்னம் எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு:

${\frac {x^{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}a}{x^{\tfrac {1}{3}}-x^{\tfrac {1}{2}}}}.$

பின்ன அடுக்குகள் கொண்டவை ஓருறுப்புக் கோவைகளாக இருந்தால், தகுந்த பதிலிடல் மூலமாக விகிதமுறா பின்னத்தை விகிதமுறு பின்னமாக மாற்றலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

${\frac {x^{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}a}{x^{\tfrac {1}{3}}-x^{\tfrac {1}{2}}}}.$

இதிலுள்ள பின்ன அடுக்குகளின் பகுதிகளின் மீச்சிறு பொது மடங்கு 6. இதனை அடுக்காகக் கொண்ட மாறியை மூல மாறிக்குப் பதிலிட வேண்டும் (x = z⁶).

$x=z^{6}$ எனப் பதிலிடக் கிடைக்கும் விகிதமுறு கோவை:

${\frac {z^{3}-{\tfrac {1}{3}}a}{z^{2}-z^{3}}}.$

மேற்கோள்கள்

• Brink, Raymond W. (1951). "IV. Fractions". College Algebra.